SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
Partie I
3.1. Orbite de transfert d’Hohmann
3.1.1 On note P le point de lancement de la fusée depuis la Terre et A le point d’arrivée
sur Mars. Le transfert d’Hohmann est réalisé selon l’orbite elliptique de périhélie P et
d’aphélie A, de foyer S (Soleil), et de grand axe :
A P = 2a = R 1 + R 2
On a : S P = R 1 = a(1 − e) et S A = R 2 = a(1 + e)
Donc :
R 1
R 2
=
1 − e
1 + e
, d’où e =
R 2 − R 1
R 2 + R 1
= 0,21
Le paramètre p de l’orbite de transfert d’Hohmann est :
p = a ·
1 − e
2
=
R 1 + R 2
2
·
1 −
R 2 − R 1
R 2 + R 1
2
Donc : p =
2R 1 R 2
R 1 + R 2
= 1,82 · 10
8 km.
3.1.2 La constante des aires C s’écrit : C =
# –
S P ∧ m · #– v P
m
= S P · v P = R 1 · v P .
On a trouvé dans la question 1.3 (satellite mis en orbite géostationnaire) l’expression
de la vitesse d’un point se déplaçant sur une ellipse :
v =
k
m
·
2
r
−
1
a
avec dans le cas de cette ellipse k = G · M s m
on obtient donc : v P =
G · M S
2
R 1
−
1
a
La constante des aires peut alors s’écrire :
C =
2G · M S
R 1 R 2
R 1 + R 2
= 4,9 · 10
15 m
2 · s
−1 .
L’énergie mécanique totale sur l’ellipse de Hohmann, comme pour toute ellipse (voir
question 1.3) s’écrit :
E = −
G · M S m
2a
3.1.3 La durée t 1 du voyage Terre-Mars entre P et A est égale à la demi-période de
parcours de l’orbite elliptique d’Hohmann, soit t 1 =
T
2
.
D’après la 3
e loi de Kepler, on a :
T
2
a 3
fusée
=
T
2
a 3
Terre
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 578 — #588
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