SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
Partie I
2.2. Navette et forces de poussée ou de freinage
2.2.1 Le travail de la force
#–
F gravitationnelle peut s’écrire :
W
#–
F
t 1 →t 2
=
t 2
t 1
#–
F · d #– r
Or le déplacement infinitésimal d #– r peut s’écrire en coordonnées polaires :
d #– r = dr · #– u r + r · du · #– u u
On rappelle l’expression de la force
#–
F :
#–
F = −
K m
r 2 · #– u r
Le travail de
#–
F s’écrit donc :
W
#–
F
t 1 →t 2
=
t 2
t 1
−
K m
r 2 · #– u r
·
dr · #– u r + r · du · #– u u
W
#–
F
t 1 →t 2
=
t 2
t 1
−
K .m
r 2 · dr = −K m ·
t 2
t 1
dr
r 2 = −K m ·
−1
r
t 2
t 1
= −K m
1
R 1
−
1
R 2
On obtient donc :
W
#–
F
t 1 →t 2
= K m ·
1
R 2
−
1
R 1
(27.3)
2.2.2 On écrit le théorème de l’énergie cinétique entre les instants t 1 et t 2 :
1
2
.m.v
2
2 −
1
2
.m.v
2
1 = W
#–
F
t 1 →t 2
+ W
#–
f
t 1 →t 2
(27.4)
Or d’après la question 1 et l’expression de la vitesse en fonction du rayon R, on peut
écrire :
1
2
mv
2
1 =
1
2
m ·
K
R 1
(27.5)
et
1
2
mv
2
2 =
1
2
m ·
K
R 2
(27.6)
En combinant les équations (3), (4), (5) et (6), on peut écrire :
W
#–
f
t 1 →t 2
=
1
2
m ·
K
R 2
−
1
2
m ·
K
R 1
− K m ·
1
R 2
−
1
R 1
Donc : W
#–
f
t 1 →t 2
=
1
2
K m ·
1
R 1
−
1
R 2
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 576 — #586
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