SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
b) v p =
G · M T ·
2
(a − c)
−
1
a
on obtient alors : v P = 6,443 km · s
−1
v A =
G · M T ·
2
(a + c)
−
1
a
on obtient alors : v A = 1,630 km · s
−1
2.1. Navette en orbite circulaire
2.1.1 D’après le principe fondamental de la dynamique, on peut écrire :
#–
F = m · #– a
On peut écrire cette relation vectorielle dans le système polaire comme suit :
#–
F = −
K .m
r 2 · #– u r = m · #– a = m ·
dv
dt
· #– u u −
v
2
R c
· #– u r
On obtient donc les relations suivantes :
dv
dt
= 0
(27.1)
et
K · m
r 2 =
m · v
2
R c
(27.2)
La première relation (1) indique que la vitesse est constante (v = constante), tandis
que la seconde (2) indique que r = R c = R.
On a donc bien un mouvement circulaire uniforme de la navette.
Si la vitesse est constante sur le cercle, on peut l’écrire comme suit : v =
dℓ
dt
, où ℓ
correspond à un arc de cercle interceptant un angle u, tel que ℓ = Ru. On obtient la
relation suivante avec la pulsation du mouvement v =
du
dt
: v = Rv
On peut alors écrire la relation (2) comme suit :
K .m
R 2 =
m.R
2 .v
2
R
Ce qui donne :
v = ±
K
R 3
L’accélération de la navette est centripète (dirigée vers le centre de la Terre) et a pour
expression : #– a = −Rv
2 · #– u r .
2.1.2 Avec la relation (2), on peut écrire l’expression de la vitesse :
K
R 2 =
v
2
R
, ce qui
donne : v =
K
R
. On voit donc que plus le cercle décrit par la navette est proche de la
Terre (i.e. R petit), plus sa vitesse est grande.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 575 — #585
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