SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL
Partie I
La vitesse maximale v max est atteinte lorsque M = M f , donc :
v max = u r · ln
M 0
M f
Pour augmenter v max , il faut donc soit accroître la vitesse relative u r des gaz éjectés,
soit réduire le rapport
M f
M 0
de la masse du corps de la fusée à la masse totale.
A.N. : v max = 8,76 km · s
−1
1.3. Satellite mis en orbite géostationnaire
1.3.1 a) 2a = 2R T + z A + z P ; on obtient : a = 24 527 km.
b) c = a − R T − z P ; on obtient : c = 17 629 km
c) e =
c
a
= 0,718 76
1.3.2 a) L’énergie mécanique peut s’écrire :
1
2
mv
2 −
k
r
= E.
On peut écrire la conservation de l’énergie mécanique entre les points P (périgée) et
A (apogée) :
1
2
mv
2
P −
k
(a − c)
=
1
2
mv
2
A −
k
(a + c)
Comme aux points P et A, le vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur, on
peut écrire : v P · (a − c) = v A · (a + c)
Donc : v A =
v P · (a − c)
(a + c)
On peut donc écrire la vitesse au périgée comme suit :
1
2
mv
2
P −
k
(a − c)
=
1
2
m ·
v P · (a − c)
(a + c)
2
−
k
(a + c)
On obtient alors : v
2
P =
k · (a + c)
ma · (a − c)
On peut écrire l’énergie mécanique du satellite au périgée :
E périgée =
1
2
m ·
k · (a + c)
ma · (a − c)
−
k
(a − c)
= −
k
2a
Pour un point quelconque, on peut écrire la conservation de l’énergie mécanique avec
le périgée, et on obtient :
E =
1
2
mv
2 −
k
r
= E périgée = −
k
2a
On obtient donc :
v =
k
m
·
2
r
−
1
a
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 574 — #584
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