SOLUTION DU PROBLÈME
GÉNÉRAL
PARTIE I.
1.1. Décollage de la fusée Ariane V
L’accélération vaut : a =
1000 (m.s
−1 )
94 (s)
= 10,64 m.s
−2
La vitesse s’écrit : v = a.t et la variation d’altitude avec le temps s’écrit : z(t) =
a
2
· t
2 ; donc pour z = 100 km on obtient t = 137 s et v = 1,46 km · s
–1 .
Remarque
En fait au bout de 137 s, la fusée est à environ 67 km d’altitude car du fait de l’attraction
gravitationnelle, la trajectoire s’incurve et ne suit pas exactement la verticale.
1.2. Fusée de masse variable en vol
1.2.1 D’après la loi de composition des vitesses : #– u a = #– u r + #– v ; en projetant sur l’axe
x’x de la fusée on obtient : u a = −u r + v, avec u a mesure algébrique de #– u a puisque le
signe de u a dépend des valeurs relatives de u r et v.
A.N. : u a = −2,8 km·s
−1 pour v = 2 km·s
−1 ; u a = 1,2 km·s
−1 pour v = 6 km·s
−1
1.2.2 a) En considérant la fusée comme étant isolée, on peut écrire la conservation de
la quantité de mouvement entre les instants t et t + dt :
(M 0 − m) · v = (M 0 − m − dm) · (v + dv) + dm · (v − u r )
ce qui donne : dv =
u r · dm
(M 0 − m − dm)
.
Si dm est petit devant m, on a : dv =
u r · dm
(M 0 − m)
.
Si on écrit M = M 0 − m, alors on a : dM = −dm et donc : dv = −u r ·
dM
M
.
b) En intégrant l’équation différentielle entre les instants t = 0 et t, on obtient :
M = M 0 · e
−
v
u r
Donc la masse de la fusée est une fonction exponentielle décroissante de sa vitesse.
c) À partir de l’équation différentielle, on obtient l’expression suivante :
v = u r · ln
M 0
M
573
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 573 — #583
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GÉNÉRAL
PARTIE I.
1.1. Décollage de la fusée Ariane V
L’accélération vaut : a =
1000 (m.s
−1 )
94 (s)
= 10,64 m.s
−2
La vitesse s’écrit : v = a.t et la variation d’altitude avec le temps s’écrit : z(t) =
a
2
· t
2 ; donc pour z = 100 km on obtient t = 137 s et v = 1,46 km · s
–1 .
Remarque
En fait au bout de 137 s, la fusée est à environ 67 km d’altitude car du fait de l’attraction
gravitationnelle, la trajectoire s’incurve et ne suit pas exactement la verticale.
1.2. Fusée de masse variable en vol
1.2.1 D’après la loi de composition des vitesses : #– u a = #– u r + #– v ; en projetant sur l’axe
x’x de la fusée on obtient : u a = −u r + v, avec u a mesure algébrique de #– u a puisque le
signe de u a dépend des valeurs relatives de u r et v.
A.N. : u a = −2,8 km·s
−1 pour v = 2 km·s
−1 ; u a = 1,2 km·s
−1 pour v = 6 km·s
−1
1.2.2 a) En considérant la fusée comme étant isolée, on peut écrire la conservation de
la quantité de mouvement entre les instants t et t + dt :
(M 0 − m) · v = (M 0 − m − dm) · (v + dv) + dm · (v − u r )
ce qui donne : dv =
u r · dm
(M 0 − m − dm)
.
Si dm est petit devant m, on a : dv =
u r · dm
(M 0 − m)
.
Si on écrit M = M 0 − m, alors on a : dM = −dm et donc : dv = −u r ·
dM
M
.
b) En intégrant l’équation différentielle entre les instants t = 0 et t, on obtient :
M = M 0 · e
−
v
u r
Donc la masse de la fusée est une fonction exponentielle décroissante de sa vitesse.
c) À partir de l’équation différentielle, on obtient l’expression suivante :
v = u r · ln
M 0
M
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