Partie IV. Correction optique d’un télescope spatial
2. Cas d’un miroir parabolique
On considère un miroir parabolique. Dans le plan (Sx, Sz), l’équation du profil du
miroir s’écrit z
( p) =
x
2
4 f 1
, où f 1 est une constante du miroir.
a) Quelle est la dimension de f 1 ? Quel est son signe ? Justifier.
b) Calculer
dz
( p)
dx
. En utilisant les résultats de la question 1), déduire S P ′ . Ce résultat
dépend-il de la coordonnée x du point d’arrivée I du rayon sur le miroir ? Le miroir parabolique présente-t-il une aberration de sphéricité pour des rayons arrivant parallèlement
à son axe de révolution ?
c) Que représente la quantité f 1 ?
3. Cas d’un miroir sphérique
On considère un miroir sphérique. Dans le plan (Sx, Sz), l’équation du profil du miroir
s’écrit z
(s) = R +
R 2 − x 2 où R est une constante du miroir.
a) Quelle est la dimension de R ? Quel est son signe ? Justifier.
b) Calculer dz
(s) /dx. En utilisant les résultats de la question 1), déduire S P ′ . Ce résultat
dépend-il de la coordonnée x du point d’arrivée I du rayon sur le miroir ? Le miroir sphérique présente-t-il une aberration de sphéricité pour des rayons arrivant parallèlement à
son axe de révolution ?
c) Que représente la quantité R ?
4. On considère un miroir sphérique de rayon R = 2 · f 1 et des rayons arrivant sur le
miroir très proches de l’axe (x ≪ R).
a) En effectuant un développement limité de l’expression de S P
′ obtenue en 2) à l’ordre
4 en x, montrer que l’on peut écrire S P ′ = z
( p) + O(x
4 ), où O(x
4 ) est un terme d’ordre
4 en x que l’on précisera.
b) Montrer que la différence de chemin optique que subit un rayon se réfléchissant sur le
miroir sphérique par rapport au même rayon se réfléchissant sur un miroir parabolique
de distance focale f 1 et de même sommet S est approximativement : 2
z
(s) − z
( p)
.
Quelle est la signification physique du facteur 2 dans cette expression ?
c) Pour compenser cette différence de marche (et donc corriger de l’aberration de
sphéricité du miroir sphérique), on introduit sur la marche des rayons avant le miroir
sphérique une lame transparente en verre d’indice n dont une face est plane et parallèle
à Sx, et l’autre présente un profil T(x) (voir figure 7). Montrer que la différence de
marche supplémentaire que fait un rayon passant dans cette lame à la coordonnée x par
rapport au trajet qu’il aurait fait en son absence, est (n − 1) [T (x) − T (0)]. Quelle est la
signification physique du facteur (n – 1) dans cette expression ?
d) Pour corriger l’aberration de sphéricité du miroir sphérique, on calcule le profil
T(x) de la lame de sorte à compenser exactement la différence de marche des rayons
par rapport à celle qu’ils auraient eu avec un miroir parabolique. Montrer que l’on a
alors :T (x) = T (0) +
x
4
32(n − 1) f
3
1
. En supposant que la lame a un diamètre 2x 0 = 40 cm
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 569 — #579
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On considère un miroir parabolique. Dans le plan (Sx, Sz), l’équation du profil du
miroir s’écrit z
( p) =
x
2
4 f 1
, où f 1 est une constante du miroir.
a) Quelle est la dimension de f 1 ? Quel est son signe ? Justifier.
b) Calculer
dz
( p)
dx
. En utilisant les résultats de la question 1), déduire S P ′ . Ce résultat
dépend-il de la coordonnée x du point d’arrivée I du rayon sur le miroir ? Le miroir parabolique présente-t-il une aberration de sphéricité pour des rayons arrivant parallèlement
à son axe de révolution ?
c) Que représente la quantité f 1 ?
3. Cas d’un miroir sphérique
On considère un miroir sphérique. Dans le plan (Sx, Sz), l’équation du profil du miroir
s’écrit z
(s) = R +
R 2 − x 2 où R est une constante du miroir.
a) Quelle est la dimension de R ? Quel est son signe ? Justifier.
b) Calculer dz
(s) /dx. En utilisant les résultats de la question 1), déduire S P ′ . Ce résultat
dépend-il de la coordonnée x du point d’arrivée I du rayon sur le miroir ? Le miroir sphérique présente-t-il une aberration de sphéricité pour des rayons arrivant parallèlement à
son axe de révolution ?
c) Que représente la quantité R ?
4. On considère un miroir sphérique de rayon R = 2 · f 1 et des rayons arrivant sur le
miroir très proches de l’axe (x ≪ R).
a) En effectuant un développement limité de l’expression de S P
′ obtenue en 2) à l’ordre
4 en x, montrer que l’on peut écrire S P ′ = z
( p) + O(x
4 ), où O(x
4 ) est un terme d’ordre
4 en x que l’on précisera.
b) Montrer que la différence de chemin optique que subit un rayon se réfléchissant sur le
miroir sphérique par rapport au même rayon se réfléchissant sur un miroir parabolique
de distance focale f 1 et de même sommet S est approximativement : 2
z
(s) − z
( p)
.
Quelle est la signification physique du facteur 2 dans cette expression ?
c) Pour compenser cette différence de marche (et donc corriger de l’aberration de
sphéricité du miroir sphérique), on introduit sur la marche des rayons avant le miroir
sphérique une lame transparente en verre d’indice n dont une face est plane et parallèle
à Sx, et l’autre présente un profil T(x) (voir figure 7). Montrer que la différence de
marche supplémentaire que fait un rayon passant dans cette lame à la coordonnée x par
rapport au trajet qu’il aurait fait en son absence, est (n − 1) [T (x) − T (0)]. Quelle est la
signification physique du facteur (n – 1) dans cette expression ?
d) Pour corriger l’aberration de sphéricité du miroir sphérique, on calcule le profil
T(x) de la lame de sorte à compenser exactement la différence de marche des rayons
par rapport à celle qu’ils auraient eu avec un miroir parabolique. Montrer que l’on a
alors :T (x) = T (0) +
x
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. En supposant que la lame a un diamètre 2x 0 = 40 cm
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