Problème Général : physique dans l’espace
p a
a(t)
L
→
→
C
O
b
r
R t
ve
α z
v c
p c
Σ
Figure 5
au travers de S à la pression atmosphérique p a : la tuyère est dite « adaptée » (voir
figure 5).
1. En formulant la conservation de la masse sur un élément de surface dA du cylindre
r = a(t), déterminer la masse volumique r c des gaz de combustion, les variations du
rayon a(t) et la masse de propergol à chaque instant M p (t). Donner la valeur numérique
de M p (0).
2. On désigne par v la vitesse axiale moyenne des gaz et par t tr = L/v le temps de
transit d’une particule. Par ailleurs, on note t cb = (b − a 0 )/w le temps que le propergol
met pour se consumer. Déduire la valeur de v de l’égalité des débits axial et radial.
Montrer que t tr ≪ t cb et en déduire que l’approximation quasi-statique est légitime.
3. On se propose de calculer la résultante des forces de pression qui agissent sur la fusée,
en projection sur l’axe de révolution Oz. Désignons par S toutes les parties solides de la
fusée et par #– n la normale intérieure à ce domaine ; par définition, la résultante cherchée
s’écrit :
#–
R = R · #– e z =
∂S
p · #– n · dA
La surface ∂S se décompose en deux parties : (∂S) i intérieure à la fusée et (∂S) e
extérieure, au contact de l’atmosphère à la pression p a . Montrer que :
#–
R =
(∂S) i
( p − p a ) · #– n · dA
4. Ensuite, isolons le domaine fluide D limité par (∂S) i et la surface sphérique S qui
limite la tuyère. Compte tenu de l’approximation quasi statique et de ce que les effets
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 566 — #576
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R t
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α z
v c
p c
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Figure 5
au travers de S à la pression atmosphérique p a : la tuyère est dite « adaptée » (voir
figure 5).
1. En formulant la conservation de la masse sur un élément de surface dA du cylindre
r = a(t), déterminer la masse volumique r c des gaz de combustion, les variations du
rayon a(t) et la masse de propergol à chaque instant M p (t). Donner la valeur numérique
de M p (0).
2. On désigne par v la vitesse axiale moyenne des gaz et par t tr = L/v le temps de
transit d’une particule. Par ailleurs, on note t cb = (b − a 0 )/w le temps que le propergol
met pour se consumer. Déduire la valeur de v de l’égalité des débits axial et radial.
Montrer que t tr ≪ t cb et en déduire que l’approximation quasi-statique est légitime.
3. On se propose de calculer la résultante des forces de pression qui agissent sur la fusée,
en projection sur l’axe de révolution Oz. Désignons par S toutes les parties solides de la
fusée et par #– n la normale intérieure à ce domaine ; par définition, la résultante cherchée
s’écrit :
#–
R = R · #– e z =
∂S
p · #– n · dA
La surface ∂S se décompose en deux parties : (∂S) i intérieure à la fusée et (∂S) e
extérieure, au contact de l’atmosphère à la pression p a . Montrer que :
#–
R =
(∂S) i
( p − p a ) · #– n · dA
4. Ensuite, isolons le domaine fluide D limité par (∂S) i et la surface sphérique S qui
limite la tuyère. Compte tenu de l’approximation quasi statique et de ce que les effets
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