Partie III. Mécanique des combustibles d’une fusée
• la liaison 5/6 pivot glissant suivant FD.
On a
# –
AB = 830 #– x 1 + 610 #– y 1 ,
# –
AC = 595 #– x 2 + 130 #– y 2 ,
# –
AG 2 = 550 #– x 2 − 30 #– y 2 ,
# –
AG 7 = 1660 #– x 2 − 130 #– y 2 ,
# –
AD = 205 #– x 2 + 35 #– y 2 ,
# –
B F = 85 #– x 3 − 70 #– y 3 et CE = 515 avec
BE = 882. Toutes les valeurs sont en mm. Les centres de gravités des différentes pièces
sont notés avec la lettre G affectée du numéro de la pièce.
On se propose de déterminer l’effort produit par le vérin 5 + 6 pour rentrer le train et
plus précisément la valeur de cet effort dans la position (u = 0). Le problème est plan.
Toutes les liaisons sont supposées parfaites. La résistance de l’air est négligée ainsi que
le poids propre des pièces, sauf celui de la jambe repérée 2 et celui des roues repérées 7.
Le poids de l’ensemble des roues 7 est appliqué en G 7 et est égal à
#–
P 7 = 380 N.
Le poids de la jambe 2 est appliqué en G 2 et est égal à
#–
P 2 = 970 N.
Le poids de l’ensemble jambe 2 et roues 7 est appliqué en G 2+7 .
1. Isoler le bras 4 associé à la pièce 8, faire le bilan des actions mécaniques exercées sur
cette pièce et en déduire la direction des forces appliquées en E et C.
2. Isoler l’ensemble du vérin 5 + 6, faire le bilan des actions mécaniques exercées sur
cet ensemble et en déduire la direction des forces appliquées en D et F.
3. Isoler le bras de contre fiche 3, faire le bilan des actions mécaniques exercées sur
cette pièce et en déduire la direction de la force appliquée en B.
4. Isoler l’ensemble 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7, faire le bilan des actions mécaniques exercées
sur cet ensemble et en déduire les efforts appliqués en A et B.
5. Isoler le bras de contre fiche 3, et en déduire le torseur des actions mécaniques exercés
par 5 sur 3.
PARTIE III. MÉCANIQUE DES COMBUSTIBLES D’UNE FUSÉE
Une application des plus classiques du théorème des quantités de mouvement étant le
calcul de la réaction d’un jet, considérons une fusée à propergol solide. Pour l’essentiel,
elle est constituée d’un tube de rayon b = 1,5 m et longueur L = 30 m ≫ b, prolongé
par une tuyère en forme de tronc de cône de sommet C et de demi angle a ≪ 1.
Le propergol a la forme d’un cylindre creux de rayon compris entre a(t) et b. Il brûle
en conservant cette forme et son rayon intérieur croît de a 0 = 0,9 m à b. La vitesse de
régression du propergol est #–
w = w · #– e r , où w = 7 mm · s
−1 et sa masse volumique a
pour valeur r p = 1 800 kg · m
−3 .
Le gaz de combustion est produit à la vitesse radiale, constante et uniforme #– v c =
−v c · #– e r où v c = 3 m·s
−1 et assimilé à un gaz parfait barotrope ; les effets de la pesanteur
sont négligés. Il est canalisé vers la tuyère dont il émerge à la vitesse #– v e = v e · #– e R , par
une calotte sphérique S de centre C et de rayon R t . Cette surface s’appuie sur le bord
de la tuyère et #– e R est un vecteur unitaire issu de C. En outre, le rayon de la section de
sortie est R s = 1 m.
Pour simplifier, on admet que la pression p c qui règne dans le corps de la fusée est
quasi uniforme jusqu’à la section z = L et on suppose également que le gaz est éjecté
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
565
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 565 — #575
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• la liaison 5/6 pivot glissant suivant FD.
On a
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AB = 830 #– x 1 + 610 #– y 1 ,
# –
AC = 595 #– x 2 + 130 #– y 2 ,
# –
AG 2 = 550 #– x 2 − 30 #– y 2 ,
# –
AG 7 = 1660 #– x 2 − 130 #– y 2 ,
# –
AD = 205 #– x 2 + 35 #– y 2 ,
# –
B F = 85 #– x 3 − 70 #– y 3 et CE = 515 avec
BE = 882. Toutes les valeurs sont en mm. Les centres de gravités des différentes pièces
sont notés avec la lettre G affectée du numéro de la pièce.
On se propose de déterminer l’effort produit par le vérin 5 + 6 pour rentrer le train et
plus précisément la valeur de cet effort dans la position (u = 0). Le problème est plan.
Toutes les liaisons sont supposées parfaites. La résistance de l’air est négligée ainsi que
le poids propre des pièces, sauf celui de la jambe repérée 2 et celui des roues repérées 7.
Le poids de l’ensemble des roues 7 est appliqué en G 7 et est égal à
#–
P 7 = 380 N.
Le poids de la jambe 2 est appliqué en G 2 et est égal à
#–
P 2 = 970 N.
Le poids de l’ensemble jambe 2 et roues 7 est appliqué en G 2+7 .
1. Isoler le bras 4 associé à la pièce 8, faire le bilan des actions mécaniques exercées sur
cette pièce et en déduire la direction des forces appliquées en E et C.
2. Isoler l’ensemble du vérin 5 + 6, faire le bilan des actions mécaniques exercées sur
cet ensemble et en déduire la direction des forces appliquées en D et F.
3. Isoler le bras de contre fiche 3, faire le bilan des actions mécaniques exercées sur
cette pièce et en déduire la direction de la force appliquée en B.
4. Isoler l’ensemble 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7, faire le bilan des actions mécaniques exercées
sur cet ensemble et en déduire les efforts appliqués en A et B.
5. Isoler le bras de contre fiche 3, et en déduire le torseur des actions mécaniques exercés
par 5 sur 3.
PARTIE III. MÉCANIQUE DES COMBUSTIBLES D’UNE FUSÉE
Une application des plus classiques du théorème des quantités de mouvement étant le
calcul de la réaction d’un jet, considérons une fusée à propergol solide. Pour l’essentiel,
elle est constituée d’un tube de rayon b = 1,5 m et longueur L = 30 m ≫ b, prolongé
par une tuyère en forme de tronc de cône de sommet C et de demi angle a ≪ 1.
Le propergol a la forme d’un cylindre creux de rayon compris entre a(t) et b. Il brûle
en conservant cette forme et son rayon intérieur croît de a 0 = 0,9 m à b. La vitesse de
régression du propergol est #–
w = w · #– e r , où w = 7 mm · s
−1 et sa masse volumique a
pour valeur r p = 1 800 kg · m
−3 .
Le gaz de combustion est produit à la vitesse radiale, constante et uniforme #– v c =
−v c · #– e r où v c = 3 m·s
−1 et assimilé à un gaz parfait barotrope ; les effets de la pesanteur
sont négligés. Il est canalisé vers la tuyère dont il émerge à la vitesse #– v e = v e · #– e R , par
une calotte sphérique S de centre C et de rayon R t . Cette surface s’appuie sur le bord
de la tuyère et #– e R est un vecteur unitaire issu de C. En outre, le rayon de la section de
sortie est R s = 1 m.
Pour simplifier, on admet que la pression p c qui règne dans le corps de la fusée est
quasi uniforme jusqu’à la section z = L et on suppose également que le gaz est éjecté
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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