Problème Général : physique dans l’espace
un aphélie A (point le plus éloigné du Soleil) situé sur l’orbite de Mars, comme cela est
indiqué dans la figure 3.
x
Soleil
x
x P
A
Terre
Mars
ellipse
d'Hohmann
R 1
R 2
Figure 3
L’ellipse d’Hohmann est tangente aux deux orbites coplanaires, pratiquement circulaires, de la Terre et de Mars, de rayons respectifs R 1 = 1,5 · 10
8 km et R 2 = 2,3 · 10
8 km.
Le Soleil est placé en un des foyers de cette ellipse.
On considère une fusée de masse 100 tonnes se déplaçant de la Terre vers Mars
suivant l’ellipse de transfert d’Hohmann. On néglige l’attraction exercée par les planètes
sur le vaisseau et on ne considère que l’attraction solaire.
Données : Masse du Soleil M S = 2 · 10
30 kg ; constante de gravitation universelle
G = 6,67 · 10
–11 kg
–1 · m
3 · s
–2 .
3.1.1 Déterminer en fonction de R 1 , R 2 , G et M S , l’excentricité e et le paramètre p de
l’ellipse d’Hohmann.
Rappel : le paramètre p d’une ellipse est défini par p =
b
2
a
= a
1 − e
2
3.1.2 Déterminer en fonction de R 1 , R 2 , G et M S , la constante des aires notée C de cette
orbite. On donnera l’expression de l’énergie mécanique totale de la fusée sur l’orbite de
transfert.
3.1.3 En utilisant la 3
e loi de Kepler, trouver la durée t 1 de ce voyage interplanétaire
entre la Terre et Mars.
3.1.4 Déterminer la position de Mars par rapport à la Terre au moment où la fusée quitte
la Terre. On déterminera d’abord l’angle u dont tourne Mars pendant la durée t 1 du
transfert. On retrouvera ensuite la période de la planète Mars notée T M , en utilisant la
3
e loi de Kepler. On donnera alors la position relative de Mars par rapport à la Terre,
avec l’angle
T S M(Terre-Soleil-Mars) tel que
T S M = p − u.
Remarque
La méthode la plus efficace et la moins coûteuse en énergie consiste à suivre l’ellipse
de Hohmann. D’autres trajectoires sont plus rapides, mais exigent plus de poussée
au départ et une correction plus grande à l’arrivée.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 562 — #572
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un aphélie A (point le plus éloigné du Soleil) situé sur l’orbite de Mars, comme cela est
indiqué dans la figure 3.
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Soleil
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x P
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Terre
Mars
ellipse
d'Hohmann
R 1
R 2
Figure 3
L’ellipse d’Hohmann est tangente aux deux orbites coplanaires, pratiquement circulaires, de la Terre et de Mars, de rayons respectifs R 1 = 1,5 · 10
8 km et R 2 = 2,3 · 10
8 km.
Le Soleil est placé en un des foyers de cette ellipse.
On considère une fusée de masse 100 tonnes se déplaçant de la Terre vers Mars
suivant l’ellipse de transfert d’Hohmann. On néglige l’attraction exercée par les planètes
sur le vaisseau et on ne considère que l’attraction solaire.
Données : Masse du Soleil M S = 2 · 10
30 kg ; constante de gravitation universelle
G = 6,67 · 10
–11 kg
–1 · m
3 · s
–2 .
3.1.1 Déterminer en fonction de R 1 , R 2 , G et M S , l’excentricité e et le paramètre p de
l’ellipse d’Hohmann.
Rappel : le paramètre p d’une ellipse est défini par p =
b
2
a
= a
1 − e
2
3.1.2 Déterminer en fonction de R 1 , R 2 , G et M S , la constante des aires notée C de cette
orbite. On donnera l’expression de l’énergie mécanique totale de la fusée sur l’orbite de
transfert.
3.1.3 En utilisant la 3
e loi de Kepler, trouver la durée t 1 de ce voyage interplanétaire
entre la Terre et Mars.
3.1.4 Déterminer la position de Mars par rapport à la Terre au moment où la fusée quitte
la Terre. On déterminera d’abord l’angle u dont tourne Mars pendant la durée t 1 du
transfert. On retrouvera ensuite la période de la planète Mars notée T M , en utilisant la
3
e loi de Kepler. On donnera alors la position relative de Mars par rapport à la Terre,
avec l’angle
T S M(Terre-Soleil-Mars) tel que
T S M = p − u.
Remarque
La méthode la plus efficace et la moins coûteuse en énergie consiste à suivre l’ellipse
de Hohmann. D’autres trajectoires sont plus rapides, mais exigent plus de poussée
au départ et une correction plus grande à l’arrivée.
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