Partie I. Mécanique des vols spatiaux
1.3.1 L’orbite de transfert géostationnaire correspond à une ellipse définie par :
• un centre O ;
• un des foyers (noté T) occupé par le centre de la Terre (de rayon R T = 6 370 km) ;
• un périgée (point où le satellite est le plus proche de la Terre) marqué par un point P,
d’altitude z P = 528 km (mesurée à partir de la surface de la Terre) ;
• un apogée (point où le satellite est le plus éloigné de la Terre) marqué par un point A,
d’altitude z A = 35 786 km (mesurée à partir de la surface de la Terre) ;
• un demi-grand axe a correspondant à OA ;
• un demi-grand axe b correspondant à OB perpendiculaire à OA ;
• une distance c entre le centre O et le foyer T notée c = OT ;
• une excentricité e donnant la forme de l’orbite, telle que e = c/a ;
Cette orbite elliptique est représentée figure 2.
O
T
B
A
P
x
a
b
c
x satellite
x
x
x
Figure 2
1.3.1 a) Déterminer l’expression de a en fonction de R T , z A et z P . Calculer a.
b) Déterminer l’expression de c en fonction de R T , a et z P . Calculer c.
c) En déduire la valeur de l’excentricité e.
1.3.2 On propose d’écrire l’énergie potentielle gravitationnelle du satellite (de masse m
et représenté par un point S) sous la forme :
E p(sat) = −
k
r
, avec k = constante positive et r = rayon TS.
a) En considérant la conservation de l’énergie mécanique pour le satellite au cours de
son mouvement, montrer que la vitesse du satellite est donnée par :
v =
k
m
·
2
r
−
1
a
b) Calculer la vitesse du satellite au périgée (vitesse notée v P ) et la vitesse du satellite à
l’apogée (vitesse notée v A ).
On rappelle que d’après la définition de l’énergie potentielle gravitationnelle, on peut
écrire : k = G · M T · m.
Données : Masse de la terre M T = 5,9736 · 10
24 kg ; masse du satellite m = 6 800 kg.
Constante de gravitation universelle G = 6,67.10
–11 kg
–1 · m
3 · s
–2
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
559
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 559 — #569
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1.3.1 L’orbite de transfert géostationnaire correspond à une ellipse définie par :
• un centre O ;
• un des foyers (noté T) occupé par le centre de la Terre (de rayon R T = 6 370 km) ;
• un périgée (point où le satellite est le plus proche de la Terre) marqué par un point P,
d’altitude z P = 528 km (mesurée à partir de la surface de la Terre) ;
• un apogée (point où le satellite est le plus éloigné de la Terre) marqué par un point A,
d’altitude z A = 35 786 km (mesurée à partir de la surface de la Terre) ;
• un demi-grand axe a correspondant à OA ;
• un demi-grand axe b correspondant à OB perpendiculaire à OA ;
• une distance c entre le centre O et le foyer T notée c = OT ;
• une excentricité e donnant la forme de l’orbite, telle que e = c/a ;
Cette orbite elliptique est représentée figure 2.
O
T
B
A
P
x
a
b
c
x satellite
x
x
x
Figure 2
1.3.1 a) Déterminer l’expression de a en fonction de R T , z A et z P . Calculer a.
b) Déterminer l’expression de c en fonction de R T , a et z P . Calculer c.
c) En déduire la valeur de l’excentricité e.
1.3.2 On propose d’écrire l’énergie potentielle gravitationnelle du satellite (de masse m
et représenté par un point S) sous la forme :
E p(sat) = −
k
r
, avec k = constante positive et r = rayon TS.
a) En considérant la conservation de l’énergie mécanique pour le satellite au cours de
son mouvement, montrer que la vitesse du satellite est donnée par :
v =
k
m
·
2
r
−
1
a
b) Calculer la vitesse du satellite au périgée (vitesse notée v P ) et la vitesse du satellite à
l’apogée (vitesse notée v A ).
On rappelle que d’après la définition de l’énergie potentielle gravitationnelle, on peut
écrire : k = G · M T · m.
Données : Masse de la terre M T = 5,9736 · 10
24 kg ; masse du satellite m = 6 800 kg.
Constante de gravitation universelle G = 6,67.10
–11 kg
–1 · m
3 · s
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