Problème Général : physique dans l’espace
mécaniquement. La fusée est animée d’un mouvement de translation rectiligne uniforme
de vitesse #– v parallèle à un axe x
′ x orienté dans le sens du mouvement et coïncidant à
tout moment avec l’axe de la fusée, comme indiqué dans la figure 1.
x'
x
v
u a
Figure 1
1.2.1 Déterminer l’expression de la vitesse absolue #– u a des gaz éjectés. En projetant
cette relation vectorielle sur l’axe x
′ x, calculer la vitesse absolue des gaz pour #– u r =
4,8 km · s
−1 et pour les vitesses de la fusée #– v 1 = 2 km · s
−1 et #– v 2 = 6 km · s
−1 .
1.2.2 La masse de l’ensemble de la fusée et du mélange de combustible diminue avec
le temps. Au départ, cette masse est M 0 ; au temps t, elle est devenue M = M 0 − m, m
correspondant à la masse des gaz éjectés. Entre les instants t et t + dt, on pose que la
masse des gaz éjectés est dm, et la vitesse de la fusée passe de #– v à #– v + d #– v .
1.2.2 a) Déterminer l’équation différentielle qui lit #– v et m. On note #– v = v.
b) Résoudre cette équation et trouver l’expression de la masse M de la fusée à l’instant t,
en fonction de M 0 , #– u r (que l’on note u r ) et v. Étudier la variation de M en fonction
de v.
c) Trouver l’expression de v en fonction de M. On note M f la masse du corps de la fusée
sans combustible. Montrer que la fusée ne peut pas dépasser une vitesse maximale notée
v max que l’on calculera.
Données : #– u r = 4,8 km.s
−1 ; M 0 = 775 tonnes ; M f = 125 tonnes.
1.3. Satellite mis en orbite géostationnaire
Un satellite en orbite géostationnaire apparaît comme immobile depuis le sol terrestre :
cette caractéristique est notamment utilisée pour les télécommunications ou certaines
observations. L’orbite géostationnaire est donc l’orbite la plus peuplée (environ 250
satellites actuellement).
Cependant cette orbite située à exactement 35 786 km d’altitude est difficile à
atteindre et requiert beaucoup d’énergie pour une injection directe. C’est pourquoi
les fusées visent plutôt une orbite de transfert géostationnaire, qui est une orbite
dont le périgée est à basse altitude (500 km environ) et l’apogée est à l’altitude de
l’orbite géostationnaire. Ainsi le satellite est largué au niveau du périgée de cette orbite
de transfert, il dérive ensuite jusqu’à l’apogée de cette orbite, point où il subit une
manœuvre de circularisation qui le place sur l’orbite géostationnaire.
558
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 558 — #568
i
i
i
i
mécaniquement. La fusée est animée d’un mouvement de translation rectiligne uniforme
de vitesse #– v parallèle à un axe x
′ x orienté dans le sens du mouvement et coïncidant à
tout moment avec l’axe de la fusée, comme indiqué dans la figure 1.
x'
x
v
u a
Figure 1
1.2.1 Déterminer l’expression de la vitesse absolue #– u a des gaz éjectés. En projetant
cette relation vectorielle sur l’axe x
′ x, calculer la vitesse absolue des gaz pour #– u r =
4,8 km · s
−1 et pour les vitesses de la fusée #– v 1 = 2 km · s
−1 et #– v 2 = 6 km · s
−1 .
1.2.2 La masse de l’ensemble de la fusée et du mélange de combustible diminue avec
le temps. Au départ, cette masse est M 0 ; au temps t, elle est devenue M = M 0 − m, m
correspondant à la masse des gaz éjectés. Entre les instants t et t + dt, on pose que la
masse des gaz éjectés est dm, et la vitesse de la fusée passe de #– v à #– v + d #– v .
1.2.2 a) Déterminer l’équation différentielle qui lit #– v et m. On note #– v = v.
b) Résoudre cette équation et trouver l’expression de la masse M de la fusée à l’instant t,
en fonction de M 0 , #– u r (que l’on note u r ) et v. Étudier la variation de M en fonction
de v.
c) Trouver l’expression de v en fonction de M. On note M f la masse du corps de la fusée
sans combustible. Montrer que la fusée ne peut pas dépasser une vitesse maximale notée
v max que l’on calculera.
Données : #– u r = 4,8 km.s
−1 ; M 0 = 775 tonnes ; M f = 125 tonnes.
1.3. Satellite mis en orbite géostationnaire
Un satellite en orbite géostationnaire apparaît comme immobile depuis le sol terrestre :
cette caractéristique est notamment utilisée pour les télécommunications ou certaines
observations. L’orbite géostationnaire est donc l’orbite la plus peuplée (environ 250
satellites actuellement).
Cependant cette orbite située à exactement 35 786 km d’altitude est difficile à
atteindre et requiert beaucoup d’énergie pour une injection directe. C’est pourquoi
les fusées visent plutôt une orbite de transfert géostationnaire, qui est une orbite
dont le périgée est à basse altitude (500 km environ) et l’apogée est à l’altitude de
l’orbite géostationnaire. Ainsi le satellite est largué au niveau du périgée de cette orbite
de transfert, il dérive ensuite jusqu’à l’apogée de cette orbite, point où il subit une
manœuvre de circularisation qui le place sur l’orbite géostationnaire.
558
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 558 — #568
i
i
i
i