Chapitre 27 • La matière
Il est souvent utile de déterminer le nombre d’atomes par maille, connaissant la
position de tous les atomes. Ainsi, dans le cas d’un atome sur chaque nœud du réseau :
• une maille simple contient 1 atome : à chacun des 8 sommets 1 atome commun à 8
mailles ;
• une maille centrée contient 2 atomes : à chacun des 8 sommets 1 atome commun à 8
mailles, et au centre 1 atome propre à la maille, soit 8 × (1/8) + 1 = 2 ;
• une maille à faces centrées contient 4 atomes : à chacun des 8 sommets 1 atome
commun à 8 mailles, et au centre de chacune des 6 faces 1 atome commun à 2 mailles,
soit 8 × (1/8) + 6 × (1/2) = 4.
d) Compacité d’un réseau
Théorème 27.6
La compacité d’un réseau est la proportion du volume de l’espace qui est occupé
lorsque des sphères identiques, impénétrables et de rayon maximal sont centrées
aux nœuds du réseau.
La compacité maximale (p ·
√
2/6 ≈ 0,74) est obtenue pour le réseau cubique à
faces centrées et pour le réseau hexagonal compactc = 2 · a ·
2/3).
DÉMONSTRATION
Comment juxtaposer des sphères de la
façon la plus compacte ? On constitue une
première rangée en alignant des sphères,
puis une deuxième rangée en plaçant une
sphère dans chaque creux entre deux sphères
de la première rangée, et ainsi de suite pour
obtenir une couche compacte de sphères.
On constitue ensuite une deuxième couche
compacte de sphères en plaçant une sphère dans un creux sur deux entre trois sphères
de la première couche (cela laisse vide la moitié des creux de la première couche). Il
y a maintenant deux manières de constituer la troisième couche compacte de sphères :
placer les sphères dans les creux qui sont à la verticale des sphères de la première couche
(configuration ABA) ou dans les autres creux (configuration ABC). On constitue de même
les couches suivantes. La configuration ABABAB... correspond à un réseau cubique à faces
centrées avec une sphère à chaque nœud ; la configuration ABCABC... correspond à un
réseau hexagonal compact avec une sphère à chaque nœud et en (1/3,1/3,1/3).
Dans un réseau cubique à faces centrées, la distance entre un nœud et ses plus proches
voisins (ils sont 12) est la demi diagonale d’un côté, soit un rayon de sphère a/(2 ·
√
2) et
un volume de sphère p · a
3 /(12 ·
√
2), à multiplier par le nombre 4 nœuds par maille.
e) Plans réticulaires
Les nœuds d’un réseau peuvent être vus comme portés par une famille de plans parallèles
équidistants, dits plans réticulaires ; il existe plusieurs telles familles.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 554 — #564
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Il est souvent utile de déterminer le nombre d’atomes par maille, connaissant la
position de tous les atomes. Ainsi, dans le cas d’un atome sur chaque nœud du réseau :
• une maille simple contient 1 atome : à chacun des 8 sommets 1 atome commun à 8
mailles ;
• une maille centrée contient 2 atomes : à chacun des 8 sommets 1 atome commun à 8
mailles, et au centre 1 atome propre à la maille, soit 8 × (1/8) + 1 = 2 ;
• une maille à faces centrées contient 4 atomes : à chacun des 8 sommets 1 atome
commun à 8 mailles, et au centre de chacune des 6 faces 1 atome commun à 2 mailles,
soit 8 × (1/8) + 6 × (1/2) = 4.
d) Compacité d’un réseau
Théorème 27.6
La compacité d’un réseau est la proportion du volume de l’espace qui est occupé
lorsque des sphères identiques, impénétrables et de rayon maximal sont centrées
aux nœuds du réseau.
La compacité maximale (p ·
√
2/6 ≈ 0,74) est obtenue pour le réseau cubique à
faces centrées et pour le réseau hexagonal compactc = 2 · a ·
2/3).
DÉMONSTRATION
Comment juxtaposer des sphères de la
façon la plus compacte ? On constitue une
première rangée en alignant des sphères,
puis une deuxième rangée en plaçant une
sphère dans chaque creux entre deux sphères
de la première rangée, et ainsi de suite pour
obtenir une couche compacte de sphères.
On constitue ensuite une deuxième couche
compacte de sphères en plaçant une sphère dans un creux sur deux entre trois sphères
de la première couche (cela laisse vide la moitié des creux de la première couche). Il
y a maintenant deux manières de constituer la troisième couche compacte de sphères :
placer les sphères dans les creux qui sont à la verticale des sphères de la première couche
(configuration ABA) ou dans les autres creux (configuration ABC). On constitue de même
les couches suivantes. La configuration ABABAB... correspond à un réseau cubique à faces
centrées avec une sphère à chaque nœud ; la configuration ABCABC... correspond à un
réseau hexagonal compact avec une sphère à chaque nœud et en (1/3,1/3,1/3).
Dans un réseau cubique à faces centrées, la distance entre un nœud et ses plus proches
voisins (ils sont 12) est la demi diagonale d’un côté, soit un rayon de sphère a/(2 ·
√
2) et
un volume de sphère p · a
3 /(12 ·
√
2), à multiplier par le nombre 4 nœuds par maille.
e) Plans réticulaires
Les nœuds d’un réseau peuvent être vus comme portés par une famille de plans parallèles
équidistants, dits plans réticulaires ; il existe plusieurs telles familles.
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