Chapitre 27 • La matière
27.4.2 Structure cristallographique
a) Base ou motif
Un solide cristallin est un arrangement périodique d’entités élémentaires. L’unité qui est
répétée dans le cristal est la base (ou le motif ), composée d’un ou plusieurs atomes, ions
ou molécules (un atome Cu pour le cuivre, un ion Na
+ et un ion Cl
– pour le chlorure
de sodium, deux atomes C pour le diamant, quatre molécules CO 2 pour le dioxyde de
carbone, ...).
b) Réseau et mailles
La périodicité spatiale du cristal est décrite par un réseau
spatial, ensemble périodique de nœuds, points a priori
abstraits en chacun desquels on positionne de la même
façon le motif pour constituer le cristal.
Une maille est une cellule élémentaire parallélépipédique ayant pour sommets des nœuds du réseau spatial
et dont la répétition reconstitue le réseau ; une maille est
dite primitive ou simple si elle ne contient pas d’autres
nœuds du réseau que ses sommets.
À une dimension, une maille est un parallélogramme défini par la longueur de deux
côtés (a et b) et par l’angle entre ces deux côtés (g) ; à trois dimensions, une maille est
un parallélépipède défini par la longueur de trois côtés (a, b et c) et par l’angle entre
ces côtés pris deux à deux (g entre les côtés de longueur a et b, a entre les côtés de
longueur b et c, b entre les côtés de longueur c et a). Ces longueurs et angles sont les
paramètres de maille.
Le choix d’une maille n’est pas unique ; on adopte généralement une maille ayant à
la fois le plus grand nombre de côtés perpendiculaires et un volume minimal, même si
elle n’est pas primitive.
Un point dans une maille (position d’un atome par exemple) est défini par ses coordonnées dans le repère non normé
O, #– a ,
#–
b , #– c
dont l’origine est un sommet de la
maille et dont les vecteurs sont portés par les côtés de la maille. À titre d’exemple, le
point (1/2,1/2,1/2) est au centre de la maille.
Théorème 27.5
Le volume d’une maille peut être calculé (dans une base orthonormée !) à partir du
produit mixte des vecteurs #– a ,
#–
b , #– c : V =
#– a ∧
#–
b
· #– c
.
À trois dimensions, il existe 14 réseaux (A. Bravais, 1848). Les 14 réseaux sont
répartis en 7 systèmes cristallographiques définis chacun par un type de maille primitive,
et éventuellement par des mailles non primitives contenant, en plus des nœuds de la
maille primitive (maille simple s) : un nœud au centre de la maille (maille centrée
bc), un nœud au centre de chaque face (maille à faces centrées fc) ou un nœud au
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 552 — #562
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27.4.2 Structure cristallographique
a) Base ou motif
Un solide cristallin est un arrangement périodique d’entités élémentaires. L’unité qui est
répétée dans le cristal est la base (ou le motif ), composée d’un ou plusieurs atomes, ions
ou molécules (un atome Cu pour le cuivre, un ion Na
+ et un ion Cl
– pour le chlorure
de sodium, deux atomes C pour le diamant, quatre molécules CO 2 pour le dioxyde de
carbone, ...).
b) Réseau et mailles
La périodicité spatiale du cristal est décrite par un réseau
spatial, ensemble périodique de nœuds, points a priori
abstraits en chacun desquels on positionne de la même
façon le motif pour constituer le cristal.
Une maille est une cellule élémentaire parallélépipédique ayant pour sommets des nœuds du réseau spatial
et dont la répétition reconstitue le réseau ; une maille est
dite primitive ou simple si elle ne contient pas d’autres
nœuds du réseau que ses sommets.
À une dimension, une maille est un parallélogramme défini par la longueur de deux
côtés (a et b) et par l’angle entre ces deux côtés (g) ; à trois dimensions, une maille est
un parallélépipède défini par la longueur de trois côtés (a, b et c) et par l’angle entre
ces côtés pris deux à deux (g entre les côtés de longueur a et b, a entre les côtés de
longueur b et c, b entre les côtés de longueur c et a). Ces longueurs et angles sont les
paramètres de maille.
Le choix d’une maille n’est pas unique ; on adopte généralement une maille ayant à
la fois le plus grand nombre de côtés perpendiculaires et un volume minimal, même si
elle n’est pas primitive.
Un point dans une maille (position d’un atome par exemple) est défini par ses coordonnées dans le repère non normé
O, #– a ,
#–
b , #– c
dont l’origine est un sommet de la
maille et dont les vecteurs sont portés par les côtés de la maille. À titre d’exemple, le
point (1/2,1/2,1/2) est au centre de la maille.
Théorème 27.5
Le volume d’une maille peut être calculé (dans une base orthonormée !) à partir du
produit mixte des vecteurs #– a ,
#–
b , #– c : V =
#– a ∧
#–
b
· #– c
.
À trois dimensions, il existe 14 réseaux (A. Bravais, 1848). Les 14 réseaux sont
répartis en 7 systèmes cristallographiques définis chacun par un type de maille primitive,
et éventuellement par des mailles non primitives contenant, en plus des nœuds de la
maille primitive (maille simple s) : un nœud au centre de la maille (maille centrée
bc), un nœud au centre de chaque face (maille à faces centrées fc) ou un nœud au
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