26.2. Dynamique relativiste
Théorème 26.3
Pour une particule de masse m et de vitesse #– v , soumise à une force
#–
f :
principe fondamental :
#–
f = d #– p / dt ;
quantité de mouvement :
#– p = m·g(v) · #– v avec g(v) =
1
1 − (v 2 /c
2 )
énergie relativiste :
E R = g(v)·m·c
2 = m·c
2 + E C ;
invariant relativiste énergie-quantité de mouvement :
( E C + m·c
2 )
2 − p
2 ·c
2 = m
2 ·c
4 dans tout référentiel !
énergie cinétique :
E C = [ g(v) − 1 ]·m·c
2 =
m 2 ·c 4 + p 2 ·c 2 − m·c
2 .
DÉMONSTRATION
E R = g(v)·m·c
2 et #– p = m·g(v) · #– v établies, il est facile de trouver l’invariant
g
2
·m
2
·c
4
− g
2
·m
2
·v
2
·c
2 = g
2 m
2
·c
4
·[ 1 − (v
2 /c
2 ) ] = m
2
·c
4 , puis E C (v) et E C (p).
Exercice d’application 26.1
Calculer la correction relativiste à l’expression classique de l’énergie cinétique
E C (p) d’une particule, à l’ordre le plus bas. On rappelle que
√
1 + ´ = 1 + (´ / 2 ) − (´
2 / 8 ) + ... .
SOLUTION.
E C =
m 2 ·c 4 + p 2 ·c 2 − m·c
2 = m·c
2 ·
1 + [ p 2 ·c 2 / (m 2 ·c 4 )] − 1
´ = p
2 ·c
2 / (m
2 ·c
4 ) ⇒ E C ≈ p
2 / (2·m) − p
4 / (8·m
3 ·c
2 )
⇒ DE C ≈ − p
4 / (8·m
3 ·c
2 )
.
Au terme de masse près, on retrouve la dynamique classique pour v ≪ c.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 515 — #525
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