Chapitre 1 • Cinématique du point
La vitesse et l’accélération sont obtenues par dérivations successives du vecteur
position par rapport au temps. Le vecteur position s’exprime comme suit dans les
différents systèmes :
Cartésien :
#–
r =
# –
OM = x · #– ux + y · #– uy + z · #– uz
Cylindrique :
#–
r =
# –
OM = r · #– ur + z · #–
uz
Sphérique :
#–
r =
# –
OM = r · #– ur
Dériver le vecteur position par rapport au temps revient à dériver ses composantes
par rapport au temps mais aussi les vecteurs de la base dans laquelle il est exprimé :
dans ce dernier cas, il est souvent utile d’exprimer les vecteurs de cette base en
fonction des vecteurs de la base cartésienne qui sont en général considérés comme
invariants avec le temps.
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 591.
1.1 Un point matériel M est animé d’un mouvement défini par les équations horaires
suivantes (en coordonnées cartésiennes) :
x = a · cos(u) y = a · sin(u) z = h · u
u est fonction du temps, a et h sont des constantes positives, h = 0,1 m.
a) Montrer que la trajectoire du point M est une hélice. La dessiner.
Sachant que le pas de l’hélice correspond à la hauteur atteinte quand u parcourt 2p,
calculer le pas de cette hélice.
b) Dans le système cylindrique, déterminer les vecteurs vitesse #– v et accélération #– a en
fonction de
•
u,
••
u. Dans quel cas le vecteur vitesse est-il constant ?
c) Montrer que le vecteur vitesse fait un angle constant avec le plan (Ox, Oy).
d) Dans le cas où u = vt, avec v = constante, montrer que les vecteurs vitesse et
accélération ont des normes constantes.
1.2 Un point M est en mouvement décrit par les équations horaires suivantes (dans
le système polaire) :
u(t) = v · t r (t) = a · t
2
v et a sont des constantes positives.
a) Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées
polaires.
b) Déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires (c’est-à-dire r en
fonction de u).
40
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 40 — #50
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La vitesse et l’accélération sont obtenues par dérivations successives du vecteur
position par rapport au temps. Le vecteur position s’exprime comme suit dans les
différents systèmes :
Cartésien :
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r =
# –
OM = x · #– ux + y · #– uy + z · #– uz
Cylindrique :
#–
r =
# –
OM = r · #– ur + z · #–
uz
Sphérique :
#–
r =
# –
OM = r · #– ur
Dériver le vecteur position par rapport au temps revient à dériver ses composantes
par rapport au temps mais aussi les vecteurs de la base dans laquelle il est exprimé :
dans ce dernier cas, il est souvent utile d’exprimer les vecteurs de cette base en
fonction des vecteurs de la base cartésienne qui sont en général considérés comme
invariants avec le temps.
Exercices
Les solutions sont regroupées p. 591.
1.1 Un point matériel M est animé d’un mouvement défini par les équations horaires
suivantes (en coordonnées cartésiennes) :
x = a · cos(u) y = a · sin(u) z = h · u
u est fonction du temps, a et h sont des constantes positives, h = 0,1 m.
a) Montrer que la trajectoire du point M est une hélice. La dessiner.
Sachant que le pas de l’hélice correspond à la hauteur atteinte quand u parcourt 2p,
calculer le pas de cette hélice.
b) Dans le système cylindrique, déterminer les vecteurs vitesse #– v et accélération #– a en
fonction de
•
u,
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u. Dans quel cas le vecteur vitesse est-il constant ?
c) Montrer que le vecteur vitesse fait un angle constant avec le plan (Ox, Oy).
d) Dans le cas où u = vt, avec v = constante, montrer que les vecteurs vitesse et
accélération ont des normes constantes.
1.2 Un point M est en mouvement décrit par les équations horaires suivantes (dans
le système polaire) :
u(t) = v · t r (t) = a · t
2
v et a sont des constantes positives.
a) Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées
polaires.
b) Déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires (c’est-à-dire r en
fonction de u).
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