Exercices
1.3 Une voiture se déplace sur une route rectiligne assimilée à l’axe Ox d’un repère
cartésien (O,
#–
i ,
#–
j ,
#–
k ). Son équation horaire est la suivante : x(t) = −t
3 + 3t
2 − 2t.
a) Déterminer la grandeur algébrique v(t) =
•
x(t) telle que #– v = v(t) ·
#–
i .
b) Déterminer la grandeur algébrique a(t) =
••
x(t) telle que #– a = a(t) ·
#–
i .
c) Déterminer les instants pour lesquels v(t) = 0 et a(t) = 0. Construire le tableau des
variations de v(t). Tracer la fonction v(t). Tracer sur le même graphique le module
de la vitesse de la voiture.
d) Déduire du graphe précédent les périodes où la voiture accélère et décélère.
1.4 Un cascadeur doit courir sur un toit puis en sauter pour se rétablir sur le toit
d’un autre bâtiment plus bas de 4,5 mètres et distant de 6,2 mètres.
Avant sa première tentative, il vous demande si cette cascade est réalisable s’il arrive
avec une vitesse de 16,2 km · h
–1 . Quelle est votre réponse ?
Remarque : on néglige la résistance de l’air et l’accélération est celle de la pesanteur.
1.5 Un homme (représenté par le point H) est au milieu d’une échelle (de longueur 2a) placée presque à la verticale le long d’un mur. Il repeint une gouttière mais
malheureusement il a mal calé son échelle et celle-ci glisse sur le sol. L’homme au lieu
de sauter reste immobile et s’accroche désespérément à l’échelle. À tout moment, vue
de profil, l’échelle a un point de contact M avec le mur et un point de contact S avec le
sol.
a) Quelle est la trajectoire de l’homme ?
b) En supposant la loi x H (t) connue (abscisse x H de l’homme en fonction du temps),
trouver la loi donnant la vitesse en fonction de x H (t).
c) Quelle est la trajectoire de l’homme s’il est placé aux deux tiers de l’échelle et non
plus au milieu lors que l’échelle glisse sur le sol ?
1.6 Un point M suit une trajectoire circulaire de rayon R et de centre O, dans le
sens trigonométrique, avec un angle u qui varie en fonction du temps suivant la loi :
u = v · t.
a) Donner l’expression du vecteur vitesse dans le repère polaire.
b) Donner l’expression du vecteur vitesse en fonction du vecteur rotation.
c) Donner l’expression du vecteur accélération dans le repère polaire en fonction de
•
u,
••
u.
d) Comment est l’accélération lorsque le mouvement de rotation est uniforme (c’est-àdire à vitesse constante) ? Donner dans ce cas l’expression du vecteur accélération.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
41
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 41 — #51
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cartésien (O,
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k ). Son équation horaire est la suivante : x(t) = −t
3 + 3t
2 − 2t.
a) Déterminer la grandeur algébrique v(t) =
•
x(t) telle que #– v = v(t) ·
#–
i .
b) Déterminer la grandeur algébrique a(t) =
••
x(t) telle que #– a = a(t) ·
#–
i .
c) Déterminer les instants pour lesquels v(t) = 0 et a(t) = 0. Construire le tableau des
variations de v(t). Tracer la fonction v(t). Tracer sur le même graphique le module
de la vitesse de la voiture.
d) Déduire du graphe précédent les périodes où la voiture accélère et décélère.
1.4 Un cascadeur doit courir sur un toit puis en sauter pour se rétablir sur le toit
d’un autre bâtiment plus bas de 4,5 mètres et distant de 6,2 mètres.
Avant sa première tentative, il vous demande si cette cascade est réalisable s’il arrive
avec une vitesse de 16,2 km · h
–1 . Quelle est votre réponse ?
Remarque : on néglige la résistance de l’air et l’accélération est celle de la pesanteur.
1.5 Un homme (représenté par le point H) est au milieu d’une échelle (de longueur 2a) placée presque à la verticale le long d’un mur. Il repeint une gouttière mais
malheureusement il a mal calé son échelle et celle-ci glisse sur le sol. L’homme au lieu
de sauter reste immobile et s’accroche désespérément à l’échelle. À tout moment, vue
de profil, l’échelle a un point de contact M avec le mur et un point de contact S avec le
sol.
a) Quelle est la trajectoire de l’homme ?
b) En supposant la loi x H (t) connue (abscisse x H de l’homme en fonction du temps),
trouver la loi donnant la vitesse en fonction de x H (t).
c) Quelle est la trajectoire de l’homme s’il est placé aux deux tiers de l’échelle et non
plus au milieu lors que l’échelle glisse sur le sol ?
1.6 Un point M suit une trajectoire circulaire de rayon R et de centre O, dans le
sens trigonométrique, avec un angle u qui varie en fonction du temps suivant la loi :
u = v · t.
a) Donner l’expression du vecteur vitesse dans le repère polaire.
b) Donner l’expression du vecteur vitesse en fonction du vecteur rotation.
c) Donner l’expression du vecteur accélération dans le repère polaire en fonction de
•
u,
••
u.
d) Comment est l’accélération lorsque le mouvement de rotation est uniforme (c’est-àdire à vitesse constante) ? Donner dans ce cas l’expression du vecteur accélération.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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