1.3. L’accélération du point matériel M
On trouve l’accélération du point M dans cette même base en dérivant par rapport au
temps la vitesse instantanée. On écrit donc :
#– a (M) =
••
s ·
#–
T +
•
s ·
•
#–
T
On peut écrire la dérivée de
#–
T par rapport au temps, sous la forme suivante :
•
#–
T =
d
#–
T
dt
=
d
#–
T
da
·
da
ds
·
ds
dt
Comme nous l’avons vu plus haut (voir présentation du repère local de Frenet p.30
et 31), nous connaissons les termes de ce produit :
da
ds
=
1
R c
et
d
#–
T
da
=
#–
N
avec R c le rayon de courbure et
#–
N le vecteur normal (tourné vers la concavité de la
courbe).
Ainsi, on trouve :
#– a (M) =
••
s ·
#–
T +
•
s
2
R c
·
#–
N
Il y a donc deux composantes de l’accélération : une composante tangentielle (notée
a T (M)) et une composante normale (notée a N (M)). Leurs expressions sont :
a T (M) =
••
s et a N (M) =
•
s
2
R c
Remarque
On utilise parfois la notation suivante : v =
•
s, où v est une mesure algébrique :
positive si le point M se déplace dans le sens des abscisses curvilignes croissantes, et
négative si le point M se déplace dans le sens des abscisses curvilignes décroissantes.
On écrit donc l’expression de l’accélération comme suit :
#– a (M) =
•
v ·
#–
T +
v
2
Rc
·
#–
N
À retenir
Le mouvement d’un point M peut être décrit par les vecteurs position, vitesse et
accélération. Ces vecteurs caractérisés par une direction, un sens et une norme,
peuvent être exprimés dans différents systèmes de coordonnées, à choisir selon
le type de mouvement. Les systèmes les plus utilisés sont les systèmes cartésien,
cylindrique et sphérique.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
39
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 39 — #49
i
i
i
i
On trouve l’accélération du point M dans cette même base en dérivant par rapport au
temps la vitesse instantanée. On écrit donc :
#– a (M) =
••
s ·
#–
T +
•
s ·
•
#–
T
On peut écrire la dérivée de
#–
T par rapport au temps, sous la forme suivante :
•
#–
T =
d
#–
T
dt
=
d
#–
T
da
·
da
ds
·
ds
dt
Comme nous l’avons vu plus haut (voir présentation du repère local de Frenet p.30
et 31), nous connaissons les termes de ce produit :
da
ds
=
1
R c
et
d
#–
T
da
=
#–
N
avec R c le rayon de courbure et
#–
N le vecteur normal (tourné vers la concavité de la
courbe).
Ainsi, on trouve :
#– a (M) =
••
s ·
#–
T +
•
s
2
R c
·
#–
N
Il y a donc deux composantes de l’accélération : une composante tangentielle (notée
a T (M)) et une composante normale (notée a N (M)). Leurs expressions sont :
a T (M) =
••
s et a N (M) =
•
s
2
R c
Remarque
On utilise parfois la notation suivante : v =
•
s, où v est une mesure algébrique :
positive si le point M se déplace dans le sens des abscisses curvilignes croissantes, et
négative si le point M se déplace dans le sens des abscisses curvilignes décroissantes.
On écrit donc l’expression de l’accélération comme suit :
#– a (M) =
•
v ·
#–
T +
v
2
Rc
·
#–
N
À retenir
Le mouvement d’un point M peut être décrit par les vecteurs position, vitesse et
accélération. Ces vecteurs caractérisés par une direction, un sens et une norme,
peuvent être exprimés dans différents systèmes de coordonnées, à choisir selon
le type de mouvement. Les systèmes les plus utilisés sont les systèmes cartésien,
cylindrique et sphérique.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
39
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 39 — #49
i
i
i
i