Chapitre 1 • Cinématique du point
#– a R (M) =
••
# –
O M =
••
x · #– u x +
••
y · #– u y +
••
z · #– u z
Les composantes de #– a R (M) sont donc
••
x,
••
y,
••
z.
b) En coordonnées cylindriques
On exprime ici le vecteur accélération du point M en fonction des vecteurs ( #– u r , #– u u , #– u z )
de la base du repère cylindrique (local au point M) associé au référentiel R qui correspond à un observateur fixe situé au point origine O.
Le vecteur vitesse a été écrit précédemment :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
r · #– u r + r ·
•
u · #– u u +
•
z · #– u z
On peut le dériver par rapport au temps pour obtenir le vecteur accélération instantanée du point M dans R et dans la base du repère cylindrique :
#– a R (M) =
••
# –
O M =
••
r · #– u r +
•
r ·
•
#– u r +
•
r ·
•
u · #– u u + r ·
••
u · #– u u + r ·
•
u ·
•
#– u u +
••
z · #– u z +
•
z ·
•
#– u z
Dans le référentiel d’étude R , le vecteur #– u z est fixe alors que #– u r et #– u u évoluent avec
le temps. Ainsi on peut déjà écrire que
•
#– u z =
#–
0 . Pour exprimer
•
#– u r et
•
#– u u dans la base
( #– u r , #– u u , #– u z ), on utilise la même méthode que dans le cas de la vitesse en coordonnées
cylindriques. On trouve donc que :
•
#– u r =
d #– u r
dt
=
d #– u r
du
·
du
dt
=
d #– u r
du
·
•
u =
•
u · #– u u
•
#– u u =
d #– u u
dt
=
d #– u u
du
·
du
dt
=
d #– u u
du
·
•
u = −
•
u · #– u r
En effet, lorsqu’on dérive #– u u par rapport à u, cela revient à dériver une seconde fois
#– u r par rapport à son angle polaire, donc à effectuer deux rotations successives de + p/2
dans le sens trigonométrique : on obtient alors − #– u r .
On
Voir le
site web
pour une
présentation de
l’accélération en
coordonnées
sphériques.
obtient donc l’expression suivante de l’accélération instantanée du point M dans
la base ( #– u r , #– u u , #– u z ) :
#– a R (M) =
••
# –
O M =
••
r · #– u r +
•
r ·
•
u · #– u u +
•
r ·
•
u · #– u u + r ·
••
u · #– u u + r ·
•
u ·
−
•
u · #– u r
+
••
z · #– u z
d’où : #– a R (M) =
••
# –
O M =
••
r − r ·
•
u
2
. #– u r +
2
•
r ·
•
u + r ·
••
u
· #– u u +
••
z · #– u z
c) Dans le repère de Frenet
On a vu précédemment que la vitesse du point M dans la base mobile de Frenet a pour
expression :
#– v (M) =
•
s ·
#–
T
38
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 38 — #48
i
i
i
i
#– a R (M) =
••
# –
O M =
••
x · #– u x +
••
y · #– u y +
••
z · #– u z
Les composantes de #– a R (M) sont donc
••
x,
••
y,
••
z.
b) En coordonnées cylindriques
On exprime ici le vecteur accélération du point M en fonction des vecteurs ( #– u r , #– u u , #– u z )
de la base du repère cylindrique (local au point M) associé au référentiel R qui correspond à un observateur fixe situé au point origine O.
Le vecteur vitesse a été écrit précédemment :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
r · #– u r + r ·
•
u · #– u u +
•
z · #– u z
On peut le dériver par rapport au temps pour obtenir le vecteur accélération instantanée du point M dans R et dans la base du repère cylindrique :
#– a R (M) =
••
# –
O M =
••
r · #– u r +
•
r ·
•
#– u r +
•
r ·
•
u · #– u u + r ·
••
u · #– u u + r ·
•
u ·
•
#– u u +
••
z · #– u z +
•
z ·
•
#– u z
Dans le référentiel d’étude R , le vecteur #– u z est fixe alors que #– u r et #– u u évoluent avec
le temps. Ainsi on peut déjà écrire que
•
#– u z =
#–
0 . Pour exprimer
•
#– u r et
•
#– u u dans la base
( #– u r , #– u u , #– u z ), on utilise la même méthode que dans le cas de la vitesse en coordonnées
cylindriques. On trouve donc que :
•
#– u r =
d #– u r
dt
=
d #– u r
du
·
du
dt
=
d #– u r
du
·
•
u =
•
u · #– u u
•
#– u u =
d #– u u
dt
=
d #– u u
du
·
du
dt
=
d #– u u
du
·
•
u = −
•
u · #– u r
En effet, lorsqu’on dérive #– u u par rapport à u, cela revient à dériver une seconde fois
#– u r par rapport à son angle polaire, donc à effectuer deux rotations successives de + p/2
dans le sens trigonométrique : on obtient alors − #– u r .
On
Voir le
site web
pour une
présentation de
l’accélération en
coordonnées
sphériques.
obtient donc l’expression suivante de l’accélération instantanée du point M dans
la base ( #– u r , #– u u , #– u z ) :
#– a R (M) =
••
# –
O M =
••
r · #– u r +
•
r ·
•
u · #– u u +
•
r ·
•
u · #– u u + r ·
••
u · #– u u + r ·
•
u ·
−
•
u · #– u r
+
••
z · #– u z
d’où : #– a R (M) =
••
# –
O M =
••
r − r ·
•
u
2
. #– u r +
2
•
r ·
•
u + r ·
••
u
· #– u u +
••
z · #– u z
c) Dans le repère de Frenet
On a vu précédemment que la vitesse du point M dans la base mobile de Frenet a pour
expression :
#– v (M) =
•
s ·
#–
T
38
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 38 — #48
i
i
i
i