1.3. L’accélération du point matériel M
1.3 L’ACCÉLÉRATION DU POINT MATÉRIEL M
1.3.1 Définition de l’accélération
Dans la plupart des mouvements, la vitesse varie au cours du temps, soit en norme,
soit en direction, soit en sens, soit les trois à la fois. On caractérise cette variation par
l’accélération #– a du point.
On imagine un point M passant d’un point A (atteint à l’instant t 1 , avec une
vitesse #– v 1 ) à un point B (atteint à l’instant t 2 , avec une vitesse #– v 2 ). On peut alors définir
l’accélération moyenne (notée #– a m ) du point M entre les positions A et B :
#– a m =
D #– v
Dt
=
#– v 2 − #– v 1
t 2 − t 1
=
#– v (t 1 ) − #– v (t 2 )
t 2 − t 1
L’accélération instantanée de M à l’instant t correspond en fait à la limite de ce
rapport lorsque Dt = t 2 −t 1 tend vers zéro : par définition, on peut dire que l’accélération
instantanée correspond en fait à la dérivée première du vecteur vitesse par rapport au
temps et donc à la dérivée seconde du vecteur position
# –
O M par rapport au temps ; on
écrit la vitesse instantanée #– a (t) du point matériel M :
#– a (t) = lim
Dt→0
D #– v
Dt
=
d #– v
dt
=
d
2 # –
O M
dt 2 =
••
# –
O M
Par analyse dimensionnelle, on trouve qu’une accélération est un rapport d’une vitesse
par un temps, elle s’exprime donc en mètre par seconde au carré (m · s
–2 ).
Tout comme la vitesse, l’accélération est définie par rapport à un référentiel donné
que l’on indique par une lettre en indice. L’accélération du point M dans le référentiel
R s’écrit donc : #– a = #– a R (M) =
d #– v
dt
R
1.3.2 Expressions de l’accélération
a) En coordonnées cartésiennes
On a vu plus haut l’expression de la vitesse instantanée du point M dans le repère
cartésien (O, #– u x , #– u y , #– u z ) lié au référentiel R :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
x · #– u x +
•
y · #– u y +
•
z · #– u z
En appliquant la règle de dérivation d’une somme de produits, on trouve l’expression
de l’accélération instantanée du point M :
#– a R (M) =
••
# –
O M =
••
x · #– u x +
•
x ·
•
#– u x +
••
y · #– u y +
•
y ·
•
#– u y +
••
z · #– u z +
•
z ·
•
#– u z
Or les vecteurs dans le repère cartésien lié au référentiel R sont invariants avec le
temps, donc
•
#– u x =
•
#– u y =
•
#– u z =
#–
0 ; on écrit alors :
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
37
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 37 — #47
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1.3 L’ACCÉLÉRATION DU POINT MATÉRIEL M
1.3.1 Définition de l’accélération
Dans la plupart des mouvements, la vitesse varie au cours du temps, soit en norme,
soit en direction, soit en sens, soit les trois à la fois. On caractérise cette variation par
l’accélération #– a du point.
On imagine un point M passant d’un point A (atteint à l’instant t 1 , avec une
vitesse #– v 1 ) à un point B (atteint à l’instant t 2 , avec une vitesse #– v 2 ). On peut alors définir
l’accélération moyenne (notée #– a m ) du point M entre les positions A et B :
#– a m =
D #– v
Dt
=
#– v 2 − #– v 1
t 2 − t 1
=
#– v (t 1 ) − #– v (t 2 )
t 2 − t 1
L’accélération instantanée de M à l’instant t correspond en fait à la limite de ce
rapport lorsque Dt = t 2 −t 1 tend vers zéro : par définition, on peut dire que l’accélération
instantanée correspond en fait à la dérivée première du vecteur vitesse par rapport au
temps et donc à la dérivée seconde du vecteur position
# –
O M par rapport au temps ; on
écrit la vitesse instantanée #– a (t) du point matériel M :
#– a (t) = lim
Dt→0
D #– v
Dt
=
d #– v
dt
=
d
2 # –
O M
dt 2 =
••
# –
O M
Par analyse dimensionnelle, on trouve qu’une accélération est un rapport d’une vitesse
par un temps, elle s’exprime donc en mètre par seconde au carré (m · s
–2 ).
Tout comme la vitesse, l’accélération est définie par rapport à un référentiel donné
que l’on indique par une lettre en indice. L’accélération du point M dans le référentiel
R s’écrit donc : #– a = #– a R (M) =
d #– v
dt
R
1.3.2 Expressions de l’accélération
a) En coordonnées cartésiennes
On a vu plus haut l’expression de la vitesse instantanée du point M dans le repère
cartésien (O, #– u x , #– u y , #– u z ) lié au référentiel R :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
x · #– u x +
•
y · #– u y +
•
z · #– u z
En appliquant la règle de dérivation d’une somme de produits, on trouve l’expression
de l’accélération instantanée du point M :
#– a R (M) =
••
# –
O M =
••
x · #– u x +
•
x ·
•
#– u x +
••
y · #– u y +
•
y ·
•
#– u y +
••
z · #– u z +
•
z ·
•
#– u z
Or les vecteurs dans le repère cartésien lié au référentiel R sont invariants avec le
temps, donc
•
#– u x =
•
#– u y =
•
#– u z =
#–
0 ; on écrit alors :
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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