Chapitre 1 • Cinématique du point
x
O
M
X
Y
u φ
φ
dφ
H
M'
HM = r sinθ
Figure 1.8 Mouvement de M quand f varie (à r et u constants)
#– v 3 (M) =
d
#–
C
dt
= (r · sin u) ·
•
f · #– u f
Donc, lorsque les trois coordonnées sphériques du point M varient de manière simultanée, on obtient alors la vitesse instantanée du point M comme suit :
#– v R (M) = #– v 1 (M) + #– v 2 (M) + #– v 3 (M)
On obtient alors l’expression suivante :
#– v R (M) =
•
r · #– u r + r ·
•
u · #– u u + (r · sin u) ·
•
f · #– u f
d) Dans le repère de Frenet
Sur la figure 1.9 est représentée la courbe suivie par le point M. La distance entre les
points M et M’ sur la courbe est notée ds. Si M et M’ sont infiniment proches, on
peut alors faire l’hypothèse que M et M’ sont à la fois sur la courbe et sur la tangente
à la courbe au point M (tangente de vecteur directeur unitaire
#–
T ). Ainsi le vecteur
déplacement peut s’écrire :
# –
M M
′ = ds ·
#–
T
M
M'
x
x
ds
T
x
A
Figure 1.9 Trajectoire curviligne suivie par un point M
La vitesse instantanée du point M peut donc s’écrire comme suit, en soulignant que
sur la tangente à la courbe au point M le vecteur
#–
T est fixe :
#– v (M) =
d
# –
M M
′
dt
=
ds
dt
·
#–
T =
•
s ·
#–
T
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 36 — #46
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