1.2. La vitesse du point matériel M
La vitesse instantanée de M se déplaçant ainsi, peut donc s’écrire comme suit (sachant
que sur cette droite OM, le vecteur #– u r est fixe) :
#– v 1 (M) =
d
#–
A
dt
=
•
r · #– u r
ii) u varie de du, à r et f constants
Le point M se déplace alors sur un cercle de centre O, de rayon r et inscrit dans le
plan (Om, OZ), comme représenté sur la figure 1.7.
x
O
M
Z
θ
m
z
u θ
r
dθ
M'
Figure 1.7 Mouvement de M quand u varie (à r et f constants)
Lorsque u varie de du, le point M parcourt un arc de cercle de longueur r · du. Si du
est infiniment petit, alors M et M’ sont très proches : on fait alors l’hypothèse que M
et M’ sont à la fois sur le cercle et sur la tangente au cercle au point M. Ainsi le vecteur
déplacement
#–
B dans ce cas peut s’écrire :
#–
B = r · du · #– u u . La vitesse instantanée de M
se déplaçant sur ce cercle peut donc s’écrire comme suit (sachant que sur la tangente au
cercle au point M, r et #– u u sont fixes) :
#– v 2 (M) =
d
#–
B
dt
= r ·
•
u · #– u u
iii) f varie de df, à r et u constants
Le point M se déplace alors sur un cercle de centre H, projection orthogonale du
point M sur l’axe OZ (voir Fig 1.3), de rayon H M = r · sin u et inscrit dans un plan
parallèle au plan (OX, OY), de cote O H = r · cos u. La figure 1.8 (en vue aérienne par
rapport au plan (OX, OY)) permet de mieux visualiser ce mouvement.
Lorsque f varie de df, le point M parcourt un arc de cercle de longueur r · sin u · df.
Si df est infiniment petit, alors M et M’ sont très proches : on fait alors l’hypothèse
que M et M’ sont à la fois sur le cercle et sur la tangente au cercle au point M. Ainsi le
vecteur déplacement
#–
C dans ce cas peut s’écrire :
#–
C = r · sin u · df · #– u f . La vitesse
instantanée de M se déplaçant sur ce cercle peut donc s’écrire comme suit (sachant que
sur la tangente au cercle au point M, le vecteur #– u f est fixe et que sur le cercle, r · sin u
est constant également) :
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
35
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 35 — #45
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La vitesse instantanée de M se déplaçant ainsi, peut donc s’écrire comme suit (sachant
que sur cette droite OM, le vecteur #– u r est fixe) :
#– v 1 (M) =
d
#–
A
dt
=
•
r · #– u r
ii) u varie de du, à r et f constants
Le point M se déplace alors sur un cercle de centre O, de rayon r et inscrit dans le
plan (Om, OZ), comme représenté sur la figure 1.7.
x
O
M
Z
θ
m
z
u θ
r
dθ
M'
Figure 1.7 Mouvement de M quand u varie (à r et f constants)
Lorsque u varie de du, le point M parcourt un arc de cercle de longueur r · du. Si du
est infiniment petit, alors M et M’ sont très proches : on fait alors l’hypothèse que M
et M’ sont à la fois sur le cercle et sur la tangente au cercle au point M. Ainsi le vecteur
déplacement
#–
B dans ce cas peut s’écrire :
#–
B = r · du · #– u u . La vitesse instantanée de M
se déplaçant sur ce cercle peut donc s’écrire comme suit (sachant que sur la tangente au
cercle au point M, r et #– u u sont fixes) :
#– v 2 (M) =
d
#–
B
dt
= r ·
•
u · #– u u
iii) f varie de df, à r et u constants
Le point M se déplace alors sur un cercle de centre H, projection orthogonale du
point M sur l’axe OZ (voir Fig 1.3), de rayon H M = r · sin u et inscrit dans un plan
parallèle au plan (OX, OY), de cote O H = r · cos u. La figure 1.8 (en vue aérienne par
rapport au plan (OX, OY)) permet de mieux visualiser ce mouvement.
Lorsque f varie de df, le point M parcourt un arc de cercle de longueur r · sin u · df.
Si df est infiniment petit, alors M et M’ sont très proches : on fait alors l’hypothèse
que M et M’ sont à la fois sur le cercle et sur la tangente au cercle au point M. Ainsi le
vecteur déplacement
#–
C dans ce cas peut s’écrire :
#–
C = r · sin u · df · #– u f . La vitesse
instantanée de M se déplaçant sur ce cercle peut donc s’écrire comme suit (sachant que
sur la tangente au cercle au point M, le vecteur #– u f est fixe et que sur le cercle, r · sin u
est constant également) :
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