Chapitre 1 • Cinématique du point
Les composantes de #– v R (M) sont donc
•
x,
•
y,
•
z.
b) En coordonnées cylindriques
L’objectif ici est d’exprimer le vecteur vitesse du point M en fonction des vecteurs
( #– u r , #– u u , #– u z ) de la base du repère cylindrique (local, mobile, associé au point M) associé
au référentiel R qui correspond à un observateur fixe situé au point origine O.
Le vecteur position a été écrit précédemment :
# –
O M = r · #– u r + z · #– u z . On peut le
dériver par rapport au temps pour obtenir le vecteur vitesse instantanée du point M dans
R et dans la base du repère cylindrique :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
r · #– u r + r ·
•
#– u r +
•
z · #– u z + z ·
•
#– u z
Notons d’abord que dans le référentiel d’étude R , le vecteur #– u z est fixe alors que #– u r
et #– u u évoluent avec le temps. Ainsi on peut déjà écrire :
•
#– u z =
#–
0 . On utilise la méthode
mathématique suivante, basée sur le fait qu’on peut diviser et multiplier un rapport par
la même quantité :
•
#– u r =
d #– u r
dt
=
d #– u r
du
·
du
dt
=
d #– u r
du
·
•
u
Or, on a vu plus haut que lorsqu’on dérive un vecteur (ici #– u r ) par son angle polaire
(ici u), on obtient un vecteur directement perpendiculaire (ici #– u u ).
Ainsi on a :
d #– u r
du
= #– u u
On obtient alors l’expression de la vitesse instantanée du point M dans la base
( #– u r , #– u u , #– u z ) :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
r · #– u r + r ·
•
u · #– u u +
•
z · #– u z
c) En coordonnées sphériques
On veut exprimer ici le vecteur vitesse du point M en fonction des vecteurs ( #– u r , #– u u , #– u f )
de la base du repère sphérique (local, mobile, associé au point M) associé au référentiel
R qui correspond à un observateur fixe situé au point origine O.
Les vecteurs #– u r , #– u u , #– u f se déplacent avec le point M, donc ils dépendent du temps,
et donc les dérivées de ces vecteurs par rapport au temps ne sont pas nulles.
Écrire la dérivée du vecteur position
# –
O Men fonction du temps, revient à déterminer
le mouvement du point M lorsque ses trois coordonnées r, u et f évoluent avec le temps.
On peut simplifier la résolution de ce problème en décomposant ce mouvement en trois
parties : i) un mouvement de M lorsque r varie (à u et f constants), ii) un mouvement
de M lorsque u varie (à r et f constants), iii) un mouvement de M lorsque f varie (à r
et u constants).
i) r varie de dr, à u et f constants
Le point M se déplace alors suivant la droite OM de vecteur directeur #– u r (voir Fig 1.3).
On peut alors écrire le vecteur déplacement sur cette droite :
#–
A = dr · #– u r
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 34 — #44
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Les composantes de #– v R (M) sont donc
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x,
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y,
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z.
b) En coordonnées cylindriques
L’objectif ici est d’exprimer le vecteur vitesse du point M en fonction des vecteurs
( #– u r , #– u u , #– u z ) de la base du repère cylindrique (local, mobile, associé au point M) associé
au référentiel R qui correspond à un observateur fixe situé au point origine O.
Le vecteur position a été écrit précédemment :
# –
O M = r · #– u r + z · #– u z . On peut le
dériver par rapport au temps pour obtenir le vecteur vitesse instantanée du point M dans
R et dans la base du repère cylindrique :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
r · #– u r + r ·
•
#– u r +
•
z · #– u z + z ·
•
#– u z
Notons d’abord que dans le référentiel d’étude R , le vecteur #– u z est fixe alors que #– u r
et #– u u évoluent avec le temps. Ainsi on peut déjà écrire :
•
#– u z =
#–
0 . On utilise la méthode
mathématique suivante, basée sur le fait qu’on peut diviser et multiplier un rapport par
la même quantité :
•
#– u r =
d #– u r
dt
=
d #– u r
du
·
du
dt
=
d #– u r
du
·
•
u
Or, on a vu plus haut que lorsqu’on dérive un vecteur (ici #– u r ) par son angle polaire
(ici u), on obtient un vecteur directement perpendiculaire (ici #– u u ).
Ainsi on a :
d #– u r
du
= #– u u
On obtient alors l’expression de la vitesse instantanée du point M dans la base
( #– u r , #– u u , #– u z ) :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
r · #– u r + r ·
•
u · #– u u +
•
z · #– u z
c) En coordonnées sphériques
On veut exprimer ici le vecteur vitesse du point M en fonction des vecteurs ( #– u r , #– u u , #– u f )
de la base du repère sphérique (local, mobile, associé au point M) associé au référentiel
R qui correspond à un observateur fixe situé au point origine O.
Les vecteurs #– u r , #– u u , #– u f se déplacent avec le point M, donc ils dépendent du temps,
et donc les dérivées de ces vecteurs par rapport au temps ne sont pas nulles.
Écrire la dérivée du vecteur position
# –
O Men fonction du temps, revient à déterminer
le mouvement du point M lorsque ses trois coordonnées r, u et f évoluent avec le temps.
On peut simplifier la résolution de ce problème en décomposant ce mouvement en trois
parties : i) un mouvement de M lorsque r varie (à u et f constants), ii) un mouvement
de M lorsque u varie (à r et f constants), iii) un mouvement de M lorsque f varie (à r
et u constants).
i) r varie de dr, à u et f constants
Le point M se déplace alors suivant la droite OM de vecteur directeur #– u r (voir Fig 1.3).
On peut alors écrire le vecteur déplacement sur cette droite :
#–
A = dr · #– u r
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