1.2. La vitesse du point matériel M
À noter qu’il est important de préciser par rapport à quel référentiel la vitesse est
définie. On écrit alors par exemple :
#– v = #– v R (M) =
d #– r
dt
R
Le référentiel R est indiqué en indice : on a donc ici l’expression de la vitesse du
point M dans le référentiel R . Dans ce référentiel, les axes liés à ce référentiel sont
considérés comme fixes, donc ne dépendant pas du temps.
Remarques
• La définition d’un vecteur donne en fait trois informations en une : elle indique la
direction, le sens et la norme du vecteur. À noter aussi que le vecteur vitesse d’un
point M est toujours tangent (au point M) à la courbe décrite par le point M au cours
de son mouvement.
• On utilise en cinématique la notation de Newton qui consiste à marquer toute
dérivation d’un vecteur ou d’une grandeur par rapport au temps, avec un point
au-dessus de ce vecteur ou grandeur. Ainsi, on note :
dx
dt
=
•
x
et
d
#–
r
dt
=
•
#–
r
1.2.2 Expressions de la vitesse instantanée
a) En coordonnées cartésiennes
On a vu plus haut que le vecteur position du point M dans le repère cartésien
(O, #– u x , #– u y , #– u z ) lié au référentiel R s’écrit :
# –
O M = x · #– u x + y · #– u y + z · #– u z
Lorsqu’on dérive ce vecteur par rapport au temps pour obtenir la vitesse instantanée,
on rappelle une règle élémentaire de dérivation d’une somme de produits, en marquant
les dérivées avec la notation « primée » :
( f g + hk)
′ = f
′ · g + f · g
′ + h
′ · k + h · k
′
On applique cette même règle en dérivant le vecteur position OM par rapport au
temps (avec la notation de Newton, « pointée ») :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
x · #– u x + x ·
•
#– u x +
•
y · #– u y + y ·
•
#– u y +
•
z · #– u z + z ·
•
#– u z
Or les vecteurs dans le repère cartésien lié au référentiel R sont invariants avec le
temps, donc
•
#– u x =
•
#– u y =
•
#– u z =
#–
0 ; on écrit alors :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
x · #– u x +
•
y · #– u y +
•
z · #– u z
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 33 — #43
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À noter qu’il est important de préciser par rapport à quel référentiel la vitesse est
définie. On écrit alors par exemple :
#– v = #– v R (M) =
d #– r
dt
R
Le référentiel R est indiqué en indice : on a donc ici l’expression de la vitesse du
point M dans le référentiel R . Dans ce référentiel, les axes liés à ce référentiel sont
considérés comme fixes, donc ne dépendant pas du temps.
Remarques
• La définition d’un vecteur donne en fait trois informations en une : elle indique la
direction, le sens et la norme du vecteur. À noter aussi que le vecteur vitesse d’un
point M est toujours tangent (au point M) à la courbe décrite par le point M au cours
de son mouvement.
• On utilise en cinématique la notation de Newton qui consiste à marquer toute
dérivation d’un vecteur ou d’une grandeur par rapport au temps, avec un point
au-dessus de ce vecteur ou grandeur. Ainsi, on note :
dx
dt
=
•
x
et
d
#–
r
dt
=
•
#–
r
1.2.2 Expressions de la vitesse instantanée
a) En coordonnées cartésiennes
On a vu plus haut que le vecteur position du point M dans le repère cartésien
(O, #– u x , #– u y , #– u z ) lié au référentiel R s’écrit :
# –
O M = x · #– u x + y · #– u y + z · #– u z
Lorsqu’on dérive ce vecteur par rapport au temps pour obtenir la vitesse instantanée,
on rappelle une règle élémentaire de dérivation d’une somme de produits, en marquant
les dérivées avec la notation « primée » :
( f g + hk)
′ = f
′ · g + f · g
′ + h
′ · k + h · k
′
On applique cette même règle en dérivant le vecteur position OM par rapport au
temps (avec la notation de Newton, « pointée ») :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
x · #– u x + x ·
•
#– u x +
•
y · #– u y + y ·
•
#– u y +
•
z · #– u z + z ·
•
#– u z
Or les vecteurs dans le repère cartésien lié au référentiel R sont invariants avec le
temps, donc
•
#– u x =
•
#– u y =
•
#– u z =
#–
0 ; on écrit alors :
#– v R (M) =
•
# –
O M =
•
x · #– u x +
•
y · #– u y +
•
z · #– u z
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