Chapitre 25 • Physique atomique
25.13.3 Électrons indépendants dans un potentiel moyen sphérique
Ne pouvant résoudre l’équation de Schrödinger en tenant compte directement de l’interaction coulombienne entre les électrons de l’atome, on considère que tous ces électrons
sont soumis à un même potentiel moyen
w(r ) représentant l’interaction avec le noyau
et avec les électrons qui écrantent le noyau à la distance r, soit :
w(r ) = −Z ·e
2 / (4·p·´ 0 ·r ) pour r → 0 et
w(r ) = −e
2 / (4·p·´ 0 ·r ) pour r → ∞.
Théorème 25.38
Dans l’approximation des électrons indépendants, les électrons de l’atome n’interagissent pas entre eux mais sont soumis à un même potentiel sphérique
w(r )
représentant globalement l’interaction avec le noyau et avec les autres électrons.
La résolution, en coordonnées sphériques, de l’équation de Schrödinger à un
électron donnerait les énergies ´ n ℓ , les fonctions d’onde
c n ℓ m ℓ ( #– r ) =
R nℓ (r )·Y ℓ m ℓ (u,w) et les spin-orbitales f n ℓ m ℓ m s ( #– r ,S z ).
Z états (n i , ℓ i , m ℓi , m si ) différents sont occupés et l’énergie totale de l’atome est
E =
Z
i = 1
´ n i ℓ i ; l’occupation des états définit la configuration de l’atome.
Chaque état à un électron a les mêmes nombres quantiques que dans un hydrogénoïde ; l’ordre des niveaux ´ n ℓ est indépendant de la forme précise de
w(r ).
Les énergies ´ n ℓ à un électron ne dépendent plus seulement de n (comme avec le
potentiel coulombien) mais aussi de ℓ, et seule la partie radiale
R de c dépend de
la forme du potentiel
w(r ). Dans l’état fondamental de l’atome, les niveaux ´ n ℓ sont
occupés par énergie croissante, à raison d’un électron par état (n, ℓ, m ℓ , m s ).
Devant changer de signe dans l’échange de deux électrons, la fonction d’onde avec
spin d’un système de Z électrons n’est pas le produit de spin-orbitales attribuées chacune
à un électron, mais une combinaison linéaire de tels produits :
f(1,2,3, ..., Z ) =
1
√
Z !
·
f 1 (1) ... f 1 (Z )
... ... ...
f N (1) ... f N (Z )
où | | est un déterminant.
25.13.4 Interaction spin-orbite
Le résultat du calcul à l’approximation des électrons indépendants dans un potentiel
sphérique
w(r ) commun est ensuite corrigé pour prendre en compte l’interaction spinorbite, ainsi que d’autres écarts comme l’échange-corrélation non traités ici.
On distingue deux approximations pour l’interaction spin-orbite . le couplage faible
L-S (concernant plutôt les atomes de faible Z comme le carbone) et le couplage fort J-J
(concernant plutôt les atomes de grand Z comme le plomb).
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 504 — #514
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25.13.3 Électrons indépendants dans un potentiel moyen sphérique
Ne pouvant résoudre l’équation de Schrödinger en tenant compte directement de l’interaction coulombienne entre les électrons de l’atome, on considère que tous ces électrons
sont soumis à un même potentiel moyen
w(r ) représentant l’interaction avec le noyau
et avec les électrons qui écrantent le noyau à la distance r, soit :
w(r ) = −Z ·e
2 / (4·p·´ 0 ·r ) pour r → 0 et
w(r ) = −e
2 / (4·p·´ 0 ·r ) pour r → ∞.
Théorème 25.38
Dans l’approximation des électrons indépendants, les électrons de l’atome n’interagissent pas entre eux mais sont soumis à un même potentiel sphérique
w(r )
représentant globalement l’interaction avec le noyau et avec les autres électrons.
La résolution, en coordonnées sphériques, de l’équation de Schrödinger à un
électron donnerait les énergies ´ n ℓ , les fonctions d’onde
c n ℓ m ℓ ( #– r ) =
R nℓ (r )·Y ℓ m ℓ (u,w) et les spin-orbitales f n ℓ m ℓ m s ( #– r ,S z ).
Z états (n i , ℓ i , m ℓi , m si ) différents sont occupés et l’énergie totale de l’atome est
E =
Z
i = 1
´ n i ℓ i ; l’occupation des états définit la configuration de l’atome.
Chaque état à un électron a les mêmes nombres quantiques que dans un hydrogénoïde ; l’ordre des niveaux ´ n ℓ est indépendant de la forme précise de
w(r ).
Les énergies ´ n ℓ à un électron ne dépendent plus seulement de n (comme avec le
potentiel coulombien) mais aussi de ℓ, et seule la partie radiale
R de c dépend de
la forme du potentiel
w(r ). Dans l’état fondamental de l’atome, les niveaux ´ n ℓ sont
occupés par énergie croissante, à raison d’un électron par état (n, ℓ, m ℓ , m s ).
Devant changer de signe dans l’échange de deux électrons, la fonction d’onde avec
spin d’un système de Z électrons n’est pas le produit de spin-orbitales attribuées chacune
à un électron, mais une combinaison linéaire de tels produits :
f(1,2,3, ..., Z ) =
1
√
Z !
·
f 1 (1) ... f 1 (Z )
... ... ...
f N (1) ... f N (Z )
où | | est un déterminant.
25.13.4 Interaction spin-orbite
Le résultat du calcul à l’approximation des électrons indépendants dans un potentiel
sphérique
w(r ) commun est ensuite corrigé pour prendre en compte l’interaction spinorbite, ainsi que d’autres écarts comme l’échange-corrélation non traités ici.
On distingue deux approximations pour l’interaction spin-orbite . le couplage faible
L-S (concernant plutôt les atomes de faible Z comme le carbone) et le couplage fort J-J
(concernant plutôt les atomes de grand Z comme le plomb).
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 504 — #514
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