25.12. Atome d’hydrogène avec spin
s
m
m
m j
+
= ℓ
ℓ
m
− ℓ − 1/2 ×
ℓ
−
1
+
− ℓ
• • •
1
−
ℓ
ℓ
1/2
+
− ℓ
× ×
s
m −1/2 − ℓ − 1/2
1/2
+
− ℓ
• • •
ℓ − 3/2 ℓ − 1/2
j
m
• • •
× ×
+1/2 − ℓ + 1/2 − ℓ + 3/2 • • •
ℓ − 1/2 ℓ + 1/2
ℓ − 1/2 × ×
ℓ + 1/2 ×
j = ℓ + 1/2 ↵
j = ℓ − 1/2 ↵
Figure 25.4 Détermination des états correspondant à un moment cinétique total
Le cas considéré ici est celui de la somme des moments cinétiques orbital et de spin d’un
électron, mais la méthode est générale. On construit le tableau à deux entrées donnant
les valeurs possibles du nombre quantique magnétique de moment total (somme des
valeurs possibles des nombres quantiques magnétiques individuels).
Dans un deuxième temps, on dresse la liste ordonnée des valeurs obtenues et on aligne
en face de chacune une croix par état individuel trouvé avec cette valeur dans le tableau ;
sachant qu’à chaque valeur j du nombre quantique de moment total doivent correspondre
les valeurs – j, – j + 1, ..., j du nombre quantique magnétique de moment total, on trouve
les valeurs possibles de j.
Définition
Lorsqu’on tient compte de l’interaction spin-orbite, on constate que les nombres
quantiques pertinents pour définir un état de l’hydrogène ou d’un ion hydrogénoïde
ne sont plus (n, ℓ, m ℓ , m s ) mais (n, ℓ, j, m j ).
L’état (n, ℓ, j, m j ) est noté : n [ lettre(ℓ) ]
m j
j , où lettre (ℓ) = s, p, d, f, g,... pour
respectivement ℓ = 0, 1, 2, 3, 4... Un niveau d’énergie sans champ magnétique
extérieur est noté sans préciser m j .
b) Autres effets relativistes
Lorsque l’on tient compte de l’interaction spin-orbite, on ne peut pas négliger deux
corrections relativistes qui sont du même ordre de grandeur.
Théorème 25.33
Correction relativiste à l’énergie
Voir
chapitre 26
cinétique, à l’ordre le plus bas en v / c :
DE
EC
n ℓ = −
< p
4 >
8·c
2 ·m 3
e
= −
8·n − 6·ℓ − 3
4·n
4 ·(2·ℓ + 1)
·
Z
4 ·a
4
2
·m e ·c
2 .
Correction de C.G. Darwin (1928), où h / (m e · c) est la longueur de Compton :
DE
D
n ℓ =
2
8·m 2
e ·c 2 · < Dw( #– r ) >
=
Z ·e
2 ·
2
8·m 2
e ·c 2 ·|c n ℓ m ℓ (
#–
0 )|
2 =
1
n 3 ·
Z
4 ·a
4
2
·m e ·c
2 si ℓ = 0
0 si ℓ = 0
.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
501
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 501 — #511
i
i
i
i
s
m
m
m j
+
= ℓ
ℓ
m
− ℓ − 1/2 ×
ℓ
−
1
+
− ℓ
• • •
1
−
ℓ
ℓ
1/2
+
− ℓ
× ×
s
m −1/2 − ℓ − 1/2
1/2
+
− ℓ
• • •
ℓ − 3/2 ℓ − 1/2
j
m
• • •
× ×
+1/2 − ℓ + 1/2 − ℓ + 3/2 • • •
ℓ − 1/2 ℓ + 1/2
ℓ − 1/2 × ×
ℓ + 1/2 ×
j = ℓ + 1/2 ↵
j = ℓ − 1/2 ↵
Figure 25.4 Détermination des états correspondant à un moment cinétique total
Le cas considéré ici est celui de la somme des moments cinétiques orbital et de spin d’un
électron, mais la méthode est générale. On construit le tableau à deux entrées donnant
les valeurs possibles du nombre quantique magnétique de moment total (somme des
valeurs possibles des nombres quantiques magnétiques individuels).
Dans un deuxième temps, on dresse la liste ordonnée des valeurs obtenues et on aligne
en face de chacune une croix par état individuel trouvé avec cette valeur dans le tableau ;
sachant qu’à chaque valeur j du nombre quantique de moment total doivent correspondre
les valeurs – j, – j + 1, ..., j du nombre quantique magnétique de moment total, on trouve
les valeurs possibles de j.
Définition
Lorsqu’on tient compte de l’interaction spin-orbite, on constate que les nombres
quantiques pertinents pour définir un état de l’hydrogène ou d’un ion hydrogénoïde
ne sont plus (n, ℓ, m ℓ , m s ) mais (n, ℓ, j, m j ).
L’état (n, ℓ, j, m j ) est noté : n [ lettre(ℓ) ]
m j
j , où lettre (ℓ) = s, p, d, f, g,... pour
respectivement ℓ = 0, 1, 2, 3, 4... Un niveau d’énergie sans champ magnétique
extérieur est noté sans préciser m j .
b) Autres effets relativistes
Lorsque l’on tient compte de l’interaction spin-orbite, on ne peut pas négliger deux
corrections relativistes qui sont du même ordre de grandeur.
Théorème 25.33
Correction relativiste à l’énergie
Voir
chapitre 26
cinétique, à l’ordre le plus bas en v / c :
DE
EC
n ℓ = −
< p
4 >
8·c
2 ·m 3
e
= −
8·n − 6·ℓ − 3
4·n
4 ·(2·ℓ + 1)
·
Z
4 ·a
4
2
·m e ·c
2 .
Correction de C.G. Darwin (1928), où h / (m e · c) est la longueur de Compton :
DE
D
n ℓ =
2
8·m 2
e ·c 2 · < Dw( #– r ) >
=
Z ·e
2 ·
2
8·m 2
e ·c 2 ·|c n ℓ m ℓ (
#–
0 )|
2 =
1
n 3 ·
Z
4 ·a
4
2
·m e ·c
2 si ℓ = 0
0 si ℓ = 0
.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 501 — #511
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