Chapitre 25 • Physique atomique
DE = −
#–
m S ·
#–
B ’
2
= −
1
2
·
− g e ·
e
2·m e
·
#–
S
·
Z ·e
4·p·´ 0 ·c 2 ·m e
·
#–
L
r 3
=
Z ·e
2 ·g e
16·p·´ 0 ·c 2 ·m 2 e
·
#–
L ·
#–
S
r 3
Théorème 25.30
Pour l’atome H ou un ion hydrogénoïde dans un état (n,ℓ) où ℓ
= 0, en remplaçant
1/r
3 par sa moyenne< 1/r
3 >, on obtient la contribution spin-orbite :
DE nℓ =
1
n 3 ·ℓ·(ℓ + 1)·(2·ℓ + 1)
·
#–
L ·
#–
S
2 ·g e ·
Z
4 ·a
4
2
·m e ·c
2
qui est de la forme A nℓ ·
#–
L ·
#–
S .
DÉMONSTRATION
On substitue dans DE, la valeur moyenne <1 / r
3 > (théorème 25.21), puis a 0 (théorème 25.6) et on fait apparaître la constante a (théorème 25.8).
Théorème 25.31
#–
L ·
#–
S = ( ||
#–
J ||
2 − ||
#–
L ||
2 − ||
#–
S ||
2 ) / 2 = [ j·(j+1) − ℓ·(ℓ+1) − s·(s+1) ]·
2 / 2 où
#–
J =
#–
L +
#–
S est le moment cinétique total, dans un état où les nombres quantiques
associés à ||
#–
L ||
2 , ||
#–
S ||
2 et ||
#–
J ||
2 sont ℓ , s et j.
DÉMONSTRATION.
On utilise l’astuce suivante (à retenir !), puis le théorème 25.15 :
#–
J ·
#–
J = (
#–
L +
#–
S )·(
#–
L +
#–
S ) =
#–
L ·
#–
L + 2·
#–
L ·
#–
S +
#–
S ·
#–
S
⇒
#–
L ·
#–
S = (
#–
J ·
#–
J −
#–
L ·
#–
L −
#–
S ·
#–
S ) / 2
.
Théorème 25.32
Pour l’atome H ou un ion hydrogénoïde dans un état (n,ℓ,j), en remplaçant
#–
L ·
#–
S
par sa valeur : DE
SO
n ℓ j =
j·(j + 1) − ℓ·(ℓ + 1) − 3/4
n 3 ·ℓ·(ℓ + 1)·(2·ℓ + 1)
·
Z
4 ·a
4
2
·m e ·c
2 si ℓ = 0
0 si ℓ = 0
.
L’inventaire, à ℓ donné, des valeurs de m j = m ℓ + m s dans les différents états
(m ℓ , m s ), permet de compter le nombre d’états donnant chaque valeur de m j et de
déterminer les valeurs possibles de j, chaque moment cinétique total
#–
J correspondant à
des états m j = – j, – j + 1, ..., + j. La figure 25.4 détaille la méthode.
500
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 500 — #510
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m S ·
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S
·
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4·p·´ 0 ·c 2 ·m e
·
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L
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2 ·g e
16·p·´ 0 ·c 2 ·m 2 e
·
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L ·
#–
S
r 3
Théorème 25.30
Pour l’atome H ou un ion hydrogénoïde dans un état (n,ℓ) où ℓ
= 0, en remplaçant
1/r
3 par sa moyenne< 1/r
3 >, on obtient la contribution spin-orbite :
DE nℓ =
1
n 3 ·ℓ·(ℓ + 1)·(2·ℓ + 1)
·
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L ·
#–
S
2 ·g e ·
Z
4 ·a
4
2
·m e ·c
2
qui est de la forme A nℓ ·
#–
L ·
#–
S .
DÉMONSTRATION
On substitue dans DE, la valeur moyenne <1 / r
3 > (théorème 25.21), puis a 0 (théorème 25.6) et on fait apparaître la constante a (théorème 25.8).
Théorème 25.31
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L ·
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S = ( ||
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J ||
2 − ||
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L ||
2 − ||
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S ||
2 ) / 2 = [ j·(j+1) − ℓ·(ℓ+1) − s·(s+1) ]·
2 / 2 où
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J =
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L +
#–
S est le moment cinétique total, dans un état où les nombres quantiques
associés à ||
#–
L ||
2 , ||
#–
S ||
2 et ||
#–
J ||
2 sont ℓ , s et j.
DÉMONSTRATION.
On utilise l’astuce suivante (à retenir !), puis le théorème 25.15 :
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J ·
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J = (
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L +
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S )·(
#–
L +
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S ) =
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L ·
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L + 2·
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L ·
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S +
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S ·
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L ·
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S = (
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J ·
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J −
#–
L ·
#–
L −
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S ·
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S ) / 2
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Théorème 25.32
Pour l’atome H ou un ion hydrogénoïde dans un état (n,ℓ,j), en remplaçant
#–
L ·
#–
S
par sa valeur : DE
SO
n ℓ j =
j·(j + 1) − ℓ·(ℓ + 1) − 3/4
n 3 ·ℓ·(ℓ + 1)·(2·ℓ + 1)
·
Z
4 ·a
4
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·m e ·c
2 si ℓ = 0
0 si ℓ = 0
.
L’inventaire, à ℓ donné, des valeurs de m j = m ℓ + m s dans les différents états
(m ℓ , m s ), permet de compter le nombre d’états donnant chaque valeur de m j et de
déterminer les valeurs possibles de j, chaque moment cinétique total
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J correspondant à
des états m j = – j, – j + 1, ..., + j. La figure 25.4 détaille la méthode.
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