25.12. Atome d’hydrogène avec spin
25.12.3 Interaction spin-orbite et autres effets relativistes
La description précise des spectres de raies observés, nécessite des corrections de
structure fine à l’énergie : interaction spin-orbite et autres effets relativistes.
a) Interaction spin-orbite
Le calcul détaillé de l’énergie d’interaction spin-orbite DE dans le référentiel du laboratoire est très délicat : il doit être fait en Relativité (pour exprimer la transformation des
champs électrique et magnétique dans un changement de référentiel) et il fait intervenir
le référentiel non galiléen de l’électron (L. Thomas, 1926).
Théorème 25.28
Dans son référentiel, l’électron est soumis à un champ magnétique
#–
B ’ produit par
la rotation du noyau autour de lui.
L’interaction spin-orbite entre le moment magnétique de spin #–
m S de l’électron et le
champ
#–
B ’ donne, dans le référentiel du laboratoire, une contribution
DE = − #–
m S ·
#–
B ’ / 2 à l’énergie (et non − #–
m S ·
#–
B ’, en raison d’effets relativistes).
Théorème 25.29
#–
L et #– r étant le moment cinétique
#–
L et la position #– r de l’électron de l’atome H ou
d’un ion hydrogénoïde dans le référentiel du laboratoire :
le champ magnétique auquel est soumis l’électron dans son référentiel R ’ est :
#–
B ’ =
Z ·e
4·p·´ 0 ·c 2 ·m e
·
#–
L
r 3 ;
la contribution spin-orbite à l’énergie est, dans le référentiel R du laboratoire :
DE = −
#–
m S ·
#–
B ’
2
=
Z ·e
2 ·g e
16·p·´ 0 ·c 2 ·m 2
e
·
#–
L ·
#–
S
r 3 (pour
#–
L =
#–
0 , et 0 pour
#–
L =
#–
0 ).
DÉMONSTRATION
La démonstration est élémentaire dans le cas
où, dans le référentiel du laboratoire, l’électron tourne autour du noyau sur une orbite de
rayon r avec une vitesse de norme v. Dans
le référentiel de l’électron, le noyau tourne
autour de l’électron sur une orbite de rayon r
avec une vitesse v, et donc avec une période T ’ ; on assimilant ce système à une spire de
courant de rayon r et d’intensité I ’ = (Z ·e) / T ’ = Z ·e·v / (2·p·r ) qui produit en son
centre le champ B ’ = m 0 ·I ’ / (2·r ) = m 0 ·Z ·e·v / (4·p·r
2 ) = m 0 ·Z ·e·L / (4·p·m e ·r
3 ) où
L = m e ·v·r . Le sens des grandeurs (figure) et ´ 0 ·m 0 ·c
2 = 1 donnent
#–
B ’.
La démonstration est un peu plus subtile dans le cas général
Voir site
web
.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
499
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 499 — #509
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25.12.3 Interaction spin-orbite et autres effets relativistes
La description précise des spectres de raies observés, nécessite des corrections de
structure fine à l’énergie : interaction spin-orbite et autres effets relativistes.
a) Interaction spin-orbite
Le calcul détaillé de l’énergie d’interaction spin-orbite DE dans le référentiel du laboratoire est très délicat : il doit être fait en Relativité (pour exprimer la transformation des
champs électrique et magnétique dans un changement de référentiel) et il fait intervenir
le référentiel non galiléen de l’électron (L. Thomas, 1926).
Théorème 25.28
Dans son référentiel, l’électron est soumis à un champ magnétique
#–
B ’ produit par
la rotation du noyau autour de lui.
L’interaction spin-orbite entre le moment magnétique de spin #–
m S de l’électron et le
champ
#–
B ’ donne, dans le référentiel du laboratoire, une contribution
DE = − #–
m S ·
#–
B ’ / 2 à l’énergie (et non − #–
m S ·
#–
B ’, en raison d’effets relativistes).
Théorème 25.29
#–
L et #– r étant le moment cinétique
#–
L et la position #– r de l’électron de l’atome H ou
d’un ion hydrogénoïde dans le référentiel du laboratoire :
le champ magnétique auquel est soumis l’électron dans son référentiel R ’ est :
#–
B ’ =
Z ·e
4·p·´ 0 ·c 2 ·m e
·
#–
L
r 3 ;
la contribution spin-orbite à l’énergie est, dans le référentiel R du laboratoire :
DE = −
#–
m S ·
#–
B ’
2
=
Z ·e
2 ·g e
16·p·´ 0 ·c 2 ·m 2
e
·
#–
L ·
#–
S
r 3 (pour
#–
L =
#–
0 , et 0 pour
#–
L =
#–
0 ).
DÉMONSTRATION
La démonstration est élémentaire dans le cas
où, dans le référentiel du laboratoire, l’électron tourne autour du noyau sur une orbite de
rayon r avec une vitesse de norme v. Dans
le référentiel de l’électron, le noyau tourne
autour de l’électron sur une orbite de rayon r
avec une vitesse v, et donc avec une période T ’ ; on assimilant ce système à une spire de
courant de rayon r et d’intensité I ’ = (Z ·e) / T ’ = Z ·e·v / (2·p·r ) qui produit en son
centre le champ B ’ = m 0 ·I ’ / (2·r ) = m 0 ·Z ·e·v / (4·p·r
2 ) = m 0 ·Z ·e·L / (4·p·m e ·r
3 ) où
L = m e ·v·r . Le sens des grandeurs (figure) et ´ 0 ·m 0 ·c
2 = 1 donnent
#–
B ’.
La démonstration est un peu plus subtile dans le cas général
Voir site
web
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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