Chapitre 25 • Physique atomique
25.12 ATOME D’HYDROGÈNE AVEC SPIN
25.12.1 Effet d’un champ magnétique sur l’atome
Théorème 25.26
Un atome H ou un ion hydrogénoïde placé dans un champ magnétique
#–
B uniforme
et selon z, acquiert une énergie supplémentaire :
− #–
m L ·
#–
B =
e
2·m e
·
#–
L ·
#–
B =
e
2·m e
·L z ·B
=
e
2·m e
·m ℓ · ·B = m ℓ ·
e· ·B
2·m e
= m ℓ ·m B ·B
− #–
m S ·
#–
B = g e ·
e
2·m e
·
#–
S ·
#–
B = g e ·
e
2·m e
·S z ·B = m s ·g e ·
e· ·B
2·m e
= m s ·g e ·m B ·B
.
Alors : E n m ℓ m s = E n + ( m ℓ + g e ·m s )·m B ·B.
Ces relations ne sont vérifiées que si le champ magnétique est assez fort pour rendre
négligeable l’interaction spin-orbite (effet magnétique interne à l’atome).
25.12.2 États de l’atome d’hydrogène avec spin de l’électron
Définition
Compte tenu du spin de l’électron, un état, ou spin-orbitale, est repéré par les
nombres quantiques (n, ℓ, m ℓ , m s )
où
n = 1, 2, ... puis ℓ = 0, 1, ..., n − 1 puis m ℓ = − ℓ, − ℓ + 1, ..., + ℓ
m s = ± 1 / 2 , nombre quantique magn´ etique de spin
.
La fonction d’onde avec spin peut être écrite f n ℓ m ℓ m s ( #– r ,
#–
S ) = c n ℓ m s ( #– r )·s m s (
#–
S )
avec la notation usuelle s m s =
a(
#–
S ) pour l’état m s = 1/2 où S z = /2
b(
#–
S ) pour l’état m s = −1/2 où S z = /2
.
Théorème 25.27
L’orbitale (n, ℓ, m ℓ ), ou case quantique, contient 2 états.
La sous-couche (n, ℓ) contient 2·(2·ℓ + 1) états.
La couche n contient 2·n
2 états.
DÉMONSTRATION
À (n, ℓ, m ℓ ) donnés : 2 valeurs de m s , soit 2 états. À (n, ℓ) donnés : 2 valeurs de m s et
(2·ℓ + 1)valeurs de m ℓ , soit 2·(2·ℓ + 1) états. Nombre d’états à n donné :
n−1
ℓ = 0
2·(2·ℓ + 1) = 4·[ 1+2+ ... +(n−1)]+2·n = 4·[(n−1)·(n−1+1) / 2 ]+2·n = 2·n
2 .
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 498 — #508
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25.12 ATOME D’HYDROGÈNE AVEC SPIN
25.12.1 Effet d’un champ magnétique sur l’atome
Théorème 25.26
Un atome H ou un ion hydrogénoïde placé dans un champ magnétique
#–
B uniforme
et selon z, acquiert une énergie supplémentaire :
− #–
m L ·
#–
B =
e
2·m e
·
#–
L ·
#–
B =
e
2·m e
·L z ·B
=
e
2·m e
·m ℓ · ·B = m ℓ ·
e· ·B
2·m e
= m ℓ ·m B ·B
− #–
m S ·
#–
B = g e ·
e
2·m e
·
#–
S ·
#–
B = g e ·
e
2·m e
·S z ·B = m s ·g e ·
e· ·B
2·m e
= m s ·g e ·m B ·B
.
Alors : E n m ℓ m s = E n + ( m ℓ + g e ·m s )·m B ·B.
Ces relations ne sont vérifiées que si le champ magnétique est assez fort pour rendre
négligeable l’interaction spin-orbite (effet magnétique interne à l’atome).
25.12.2 États de l’atome d’hydrogène avec spin de l’électron
Définition
Compte tenu du spin de l’électron, un état, ou spin-orbitale, est repéré par les
nombres quantiques (n, ℓ, m ℓ , m s )
où
n = 1, 2, ... puis ℓ = 0, 1, ..., n − 1 puis m ℓ = − ℓ, − ℓ + 1, ..., + ℓ
m s = ± 1 / 2 , nombre quantique magn´ etique de spin
.
La fonction d’onde avec spin peut être écrite f n ℓ m ℓ m s ( #– r ,
#–
S ) = c n ℓ m s ( #– r )·s m s (
#–
S )
avec la notation usuelle s m s =
a(
#–
S ) pour l’état m s = 1/2 où S z = /2
b(
#–
S ) pour l’état m s = −1/2 où S z = /2
.
Théorème 25.27
L’orbitale (n, ℓ, m ℓ ), ou case quantique, contient 2 états.
La sous-couche (n, ℓ) contient 2·(2·ℓ + 1) états.
La couche n contient 2·n
2 états.
DÉMONSTRATION
À (n, ℓ, m ℓ ) donnés : 2 valeurs de m s , soit 2 états. À (n, ℓ) donnés : 2 valeurs de m s et
(2·ℓ + 1)valeurs de m ℓ , soit 2·(2·ℓ + 1) états. Nombre d’états à n donné :
n−1
ℓ = 0
2·(2·ℓ + 1) = 4·[ 1+2+ ... +(n−1)]+2·n = 4·[(n−1)·(n−1+1) / 2 ]+2·n = 2·n
2 .
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