25.9. Atome d’hydrogène de Schrödinger
Théorème 25.17
Dans l’état ( n ,ℓ , m ℓ ) de l’atome H ou d’un ion hydrogénoïde :
E n = −
m e ·e
4
32·p 2 ·´ 2
0 · 2 ·
Z
2
n 2 , où n = 1, 2, 3, ... est le nombre quantique principal
(comme dans le modèle de Bohr) ;
||
#–
L || ℓ = ·
ℓ·(ℓ + 1), où ℓ = 0, 1, 2, 3, 4..., n − 1 est le nombre quantique
orbital dont les valeurs sont aussi notées s, p, d, f, g, ... ;
(L z ) m ℓ = ·m ℓ , où m ℓ = − ℓ, − ℓ + 1, ..., + ℓ est le nombre quantique
magnétique orbital.
En raison de la forme du potentiel coulombien, l’énergie ne dépend que de n.
Théorème 25.18
Premières fonctions d’onde c n ℓ m ℓ de l’atome H ou d’un ion hydrogénoïde :
c 1 0 0 =
1
√
p
·
Z
a 0
3/2
· exp
−
Z · r
a 0
;
c 2 0 0 =
1
√
p
·
Z
2 · a 0
3/2
·
1 −
Z · r
2 · a 0
· exp
−
Z · r
2 · a 0
;
c 21 0 =
1
√
p
·
Z
2 · a 0
3/2
·
Z · r
2 · a 0
· exp
−
Z·r
2·a 0
· cos u
=
1
√
p
·
Z
2 · a 0
5/2
· exp
−
Z · r
2 · a 0
· z
c 21 ± 1 =
1
√
2 · p
·
Z
2 · a 0
3/2
·
Z·r
2 · a 0
· exp
−
Z·r
2·a 0
· sin u · exp(± j · w)
=
1
√
2p
·
Z
2 · a 0
5/2
· exp
−
Z · r
2 · a 0
· (x ± j · y)
Les fonctions d’onde sont complexes pour m ℓ
= 0 mais, en en faisant des combinaisons linéaires, on peut construire des fonctions d’onde réelles.
Théorème 25.19
On peut remplacer l’ensemble { c 2 1 − 1 , c 2 1 1 } par l’ensemble

   
   
c 2 px =
c 21 1 + c 21 − 1
√
2
=
1
√
p
·
Z
2 · a 0
5/2
· exp
−
Z · r
2 · a 0
· x
c 2 py =
c 21 1 − c 21 − 1
j·
√
2
=
1
√
p
·
Z
2 · a 0
5/2
· exp
−
Z · r
2 · a 0
· y
Les orbitales 2px, 2py et 210 = 2pz ont même forme et correspondent chacune à une
coordonnée nulle du moment cinétique orbital (respectivement L x , L y et L z ). Les orbitales
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 493 — #503
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