Chapitre 25 • Physique atomique
Théorème 25.14
En coordonnées sphériques (r, u, f), la fonction propre Y commune à
L z et à
#–
L
2
(équations
L z Y = L z ·Y et
#–
L
2 Y = ||
#–
L ||
2 ·Y) est :
Y ℓ m ℓ (u,w) = ℘ ℓ m ℓ (cos u)·[ ( 1 /
√
2·p )·exp( j·m ℓ ·w) ]
où les fonctions ℘ ℓ m et Y ℓ m sont connues respectivement sous le nom de fonction
de Legendre associée normée et d’harmonique sphérique.
Théorème 25.15
Une définition générale de
⇀
J donne les mêmes propriétés pour tout moment cinétique
#–
J qui sera rencontré (orbital, de spin, somme de moments cinétiques) :
||
#–
J || = ·
j·(j + 1) o` u j est le nombr e quantique
( par f oi s demi enti er ) associ ´
e `
a ||
#–
J ||
J z = .m j o` u m j = − j, − j + 1, ..., + j
25.9 ATOME D’HYDROGÈNE DE SCHRÖDINGER
25.9.1 Méthode de calcul et premiers résultats
Le traitement classique de l’atome d’hydrogène et de l’ion hydrogénoïde et les résultats
quantiques sur le moment cinétique orbital
#–
L conduisent à rechercher les états stationnaires dans lesquels L z , ||
#–
L || et l’énergie E ont une valeur déterminée. La résolution (non
détaillée dans ce livre) se fait dans mêmes hypothèses que pour le modèle planétaire.
Théorème 25.16
Les états quantiques stationnaires de l’atome H ou d’un ion hydrogénoïde, où la
coordonnée L z du moment cinétique orbital
#–
L , la norme ||
#–
L || et l’énergie E ont une
valeur déterminée, sont donnés par la résolution des équations
{
L z c = L z ·c ,
#–
L
2 c = ||
#–
L ||
2 ·c et
H c = E·c}
en coordonnées sphériques (r, u, w) ;
Par séparation des variables, on obtient sous forme factorisée les fonctions
d’onde indépendantes du temps, numérotées par les nombre quantique n, ℓ et m ℓ :
c n ℓ m ℓ (r ,u,w) = R nℓ (r )·Y ℓ m ℓ (u,w)
= R nℓ (r )·℘ ℓ m ℓ (cos u)·[ ( 1
√
2·p )·exp( j·m ℓ ·w) ] ;
on trouve simultanément les valeurs associées de E, ||
#–
L || et L z .
492
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 492 — #502
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Théorème 25.14
En coordonnées sphériques (r, u, f), la fonction propre Y commune à
L z et à
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2
(équations
L z Y = L z ·Y et
#–
L
2 Y = ||
#–
L ||
2 ·Y) est :
Y ℓ m ℓ (u,w) = ℘ ℓ m ℓ (cos u)·[ ( 1 /
√
2·p )·exp( j·m ℓ ·w) ]
où les fonctions ℘ ℓ m et Y ℓ m sont connues respectivement sous le nom de fonction
de Legendre associée normée et d’harmonique sphérique.
Théorème 25.15
Une définition générale de
⇀
J donne les mêmes propriétés pour tout moment cinétique
#–
J qui sera rencontré (orbital, de spin, somme de moments cinétiques) :
||
#–
J || = ·
j·(j + 1) o` u j est le nombr e quantique
( par f oi s demi enti er ) associ ´
e `
a ||
#–
J ||
J z = .m j o` u m j = − j, − j + 1, ..., + j
25.9 ATOME D’HYDROGÈNE DE SCHRÖDINGER
25.9.1 Méthode de calcul et premiers résultats
Le traitement classique de l’atome d’hydrogène et de l’ion hydrogénoïde et les résultats
quantiques sur le moment cinétique orbital
#–
L conduisent à rechercher les états stationnaires dans lesquels L z , ||
#–
L || et l’énergie E ont une valeur déterminée. La résolution (non
détaillée dans ce livre) se fait dans mêmes hypothèses que pour le modèle planétaire.
Théorème 25.16
Les états quantiques stationnaires de l’atome H ou d’un ion hydrogénoïde, où la
coordonnée L z du moment cinétique orbital
#–
L , la norme ||
#–
L || et l’énergie E ont une
valeur déterminée, sont donnés par la résolution des équations
{
L z c = L z ·c ,
#–
L
2 c = ||
#–
L ||
2 ·c et
H c = E·c}
en coordonnées sphériques (r, u, w) ;
Par séparation des variables, on obtient sous forme factorisée les fonctions
d’onde indépendantes du temps, numérotées par les nombre quantique n, ℓ et m ℓ :
c n ℓ m ℓ (r ,u,w) = R nℓ (r )·Y ℓ m ℓ (u,w)
= R nℓ (r )·℘ ℓ m ℓ (cos u)·[ ( 1
√
2·p )·exp( j·m ℓ ·w) ] ;
on trouve simultanément les valeurs associées de E, ||
#–
L || et L z .
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