Chapitre 25 • Physique atomique
b) Les états d’énergie déterminée ou états « stationnaires »
Ce problème de Mécanique quantique est le plus courant.
Théorème 25.10
Les états d’énergie E déterminée d’une particule placée dans un potentiel w( #– r )
indépendant du temps (états stationnaires) sont obtenus de la façon suivante :
H c = E·c, c’est-à-dire −
2
2·m
·Dc + w( #– r )·c = E·c,
où
tout l’espace
|c( #– r )|
2 ·dt = 1, donnent E et la fonction d’onde indépendante
du temps c( #– r ) ;
H c = E·c est l’équation de Schrödinger indépendante du
temps.
Alors : C( #– r ,t) = c( #– r )·e
− j·V·t où V = E / (et donc |C( #– r ,t)|
2 = |c( #– r )|
2 )
DÉMONSTRATION
H C = j· ·
∂C
∂t
H C = E·C
⇔
j· ·
∂C
∂t
= E·C
H C = E·C
.
La première équation différentielle est de variable t, linéaire, sans second membre d’ordre 1
et à coefficients constants ; ayant trouvé une solution particulière de la forme e
h·t , on
obtient la solution générale C·e
− j·E·t / ; C, constante arbitraire par rapport à t, est notée
c( #– r ).
Remarques
L’une des relations de L. de Broglie, E = ·V, est retrouvée.
c et |C|
2 = |c|
2 sont indépendants du temps mais C dépend du temps.
Axiome
Un système de plusieurs particules est décrit par une fonction d’onde C( #– r 1 , #– r 2 , ... ,t)
ou c( #– r 1 , #– r 2 , ... ) obéissant à des lois analogues à celles énoncées pour une particule.
c) Valeurs moyennes et lien entre mécaniques quantique et classique
Théorème 25.11
La valeur moyenne d’une observable est, avec C( #– r ,t) ou c( #– r ) :
< f ( #– r ) > =
tout l’espace
f ( #– r )·|C|
2 ·dt si l’observable n’est fonction que
de #– r et t ;
< A > =
tout l’espace
C
∗
AC·dt si plus généralement l’opérateur
A est
quelconque.
490
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 490 — #500
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b) Les états d’énergie déterminée ou états « stationnaires »
Ce problème de Mécanique quantique est le plus courant.
Théorème 25.10
Les états d’énergie E déterminée d’une particule placée dans un potentiel w( #– r )
indépendant du temps (états stationnaires) sont obtenus de la façon suivante :
H c = E·c, c’est-à-dire −
2
2·m
·Dc + w( #– r )·c = E·c,
où
tout l’espace
|c( #– r )|
2 ·dt = 1, donnent E et la fonction d’onde indépendante
du temps c( #– r ) ;
H c = E·c est l’équation de Schrödinger indépendante du
temps.
Alors : C( #– r ,t) = c( #– r )·e
− j·V·t où V = E / (et donc |C( #– r ,t)|
2 = |c( #– r )|
2 )
DÉMONSTRATION
H C = j· ·
∂C
∂t
H C = E·C
⇔
j· ·
∂C
∂t
= E·C
H C = E·C
.
La première équation différentielle est de variable t, linéaire, sans second membre d’ordre 1
et à coefficients constants ; ayant trouvé une solution particulière de la forme e
h·t , on
obtient la solution générale C·e
− j·E·t / ; C, constante arbitraire par rapport à t, est notée
c( #– r ).
Remarques
L’une des relations de L. de Broglie, E = ·V, est retrouvée.
c et |C|
2 = |c|
2 sont indépendants du temps mais C dépend du temps.
Axiome
Un système de plusieurs particules est décrit par une fonction d’onde C( #– r 1 , #– r 2 , ... ,t)
ou c( #– r 1 , #– r 2 , ... ) obéissant à des lois analogues à celles énoncées pour une particule.
c) Valeurs moyennes et lien entre mécaniques quantique et classique
Théorème 25.11
La valeur moyenne d’une observable est, avec C( #– r ,t) ou c( #– r ) :
< f ( #– r ) > =
tout l’espace
f ( #– r )·|C|
2 ·dt si l’observable n’est fonction que
de #– r et t ;
< A > =
tout l’espace
C
∗
AC·dt si plus généralement l’opérateur
A est
quelconque.
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