25.8. Mécanique quantique de Schrödinger
valeur propre associée a i et normées à 1 :
C = S i c i ·a i , alors Probabilité [A = a i ] = |c i |
2 .
Ainsi, l’opérateur énergie cinétique est
E C =
#– p
#– p
2·m
= −
2
2·m
·
#–
∇
#–
∇ = −
2
2·m
·D
et l’opérateur énergie mécanique est l’opérateur hamiltonien
H déjà cité. Un opérateur
n’est pas une matrice mais la notion de fonction propre est analogue à celle de vecteur
propre. Un opérateur linéaire
A est tel que, pour tous nombres l 1 et l 2 et pour toutes
fonctions a 1 et a 2 :
A [l 1 ·a 1 + l 2 ·a 2 ] = l 1 ·
A a 1 + l 2 ·
A a 2 .
Exercice d’application 25.5
La fonction a( #– r ) = y + j·z est-elle fonction propre des opérateurs
A = y
p z − z
p y et
B = z
p x −
x
p z ?
SOLUTION.
Aa = − j· ·[y·
∂
∂z
− z·
∂
∂ y
] [y + j·z]
= − j· ·[y· j − z] = ·[y + j·z] = ·a ⇒ oui ;
Ba = − j· ·[z·
∂
∂x
− x·
∂
∂z
] [y + j·z] = ·x ⇒ non.
Remarques
• La trajectoire classique est remplacée par une orbitale correspondant à une fonction
d’onde dont on déduit la probabilité de présence de la particule autour de chaque point.
• La mécanique quantique introduit dans les lois de la nature un indéterminisme
(c’est-à-dire un hasard) fondamental (qui n’est pas lié à une quelconque approximation
ou méconnaissance, contrairement à la thermodynamique statistique) ; cependant
l’évolution de la fonction d’onde dans le temps, et donc des probabilités de présence,
est déterministe.
• Certaines grandeurs (position, quantité de mouvement, ...) deviennent probabilistes
(c’est-à-dire « floues », en quelque sorte), tandis que d’autres (énergie...) deviennent
discrètes (c’est-à-dire à valeurs possibles dans une liste).
• La fonction d’onde est définie à une constante multiplicative complexe de module 1
près qui disparaît dans |C|
2 et peut être choisie librement (– 1, j ou exp(j · j), où
j
2 = – 1).
• Le résultat de la mesure d’une grandeur A qui n’a pas une valeur déterminée dans
l’état C de la particule est aléatoire ; après la mesure l’état de la particule est modifié
puisque la grandeur a alors la valeur déterminée trouvée.
• L’ordre dans lequel on applique les opérateurs est important (pas de commutativité
en général) ; ce problème ne se pose pas pour les cas traités dans ce livre.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
489
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 489 — #499
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valeur propre associée a i et normées à 1 :
C = S i c i ·a i , alors Probabilité [A = a i ] = |c i |
2 .
Ainsi, l’opérateur énergie cinétique est
E C =
#– p
#– p
2·m
= −
2
2·m
·
#–
∇
#–
∇ = −
2
2·m
·D
et l’opérateur énergie mécanique est l’opérateur hamiltonien
H déjà cité. Un opérateur
n’est pas une matrice mais la notion de fonction propre est analogue à celle de vecteur
propre. Un opérateur linéaire
A est tel que, pour tous nombres l 1 et l 2 et pour toutes
fonctions a 1 et a 2 :
A [l 1 ·a 1 + l 2 ·a 2 ] = l 1 ·
A a 1 + l 2 ·
A a 2 .
Exercice d’application 25.5
La fonction a( #– r ) = y + j·z est-elle fonction propre des opérateurs
A = y
p z − z
p y et
B = z
p x −
x
p z ?
SOLUTION.
Aa = − j· ·[y·
∂
∂z
− z·
∂
∂ y
] [y + j·z]
= − j· ·[y· j − z] = ·[y + j·z] = ·a ⇒ oui ;
Ba = − j· ·[z·
∂
∂x
− x·
∂
∂z
] [y + j·z] = ·x ⇒ non.
Remarques
• La trajectoire classique est remplacée par une orbitale correspondant à une fonction
d’onde dont on déduit la probabilité de présence de la particule autour de chaque point.
• La mécanique quantique introduit dans les lois de la nature un indéterminisme
(c’est-à-dire un hasard) fondamental (qui n’est pas lié à une quelconque approximation
ou méconnaissance, contrairement à la thermodynamique statistique) ; cependant
l’évolution de la fonction d’onde dans le temps, et donc des probabilités de présence,
est déterministe.
• Certaines grandeurs (position, quantité de mouvement, ...) deviennent probabilistes
(c’est-à-dire « floues », en quelque sorte), tandis que d’autres (énergie...) deviennent
discrètes (c’est-à-dire à valeurs possibles dans une liste).
• La fonction d’onde est définie à une constante multiplicative complexe de module 1
près qui disparaît dans |C|
2 et peut être choisie librement (– 1, j ou exp(j · j), où
j
2 = – 1).
• Le résultat de la mesure d’une grandeur A qui n’a pas une valeur déterminée dans
l’état C de la particule est aléatoire ; après la mesure l’état de la particule est modifié
puisque la grandeur a alors la valeur déterminée trouvée.
• L’ordre dans lequel on applique les opérateurs est important (pas de commutativité
en général) ; ce problème ne se pose pas pour les cas traités dans ce livre.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 489 — #499
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