Chapitre 25 • Physique atomique
pour une particule libre et s’applique par exemple aussi bien aux électrons d’un atome,
aux électrons d’un semi conducteur, aux protons et neutrons d’un noyau atomique ou
aux vibrations d’une molécule.
25.8.1 Principes et définitions
a) Les premiers principes
Axiomes
L’état mécanique d’une particule de masse m placée dans un potentiel w( #– r ,t) est
décrit par la fonction d’onde complexe C( #– r ,t), dont l’évolution dans le temps est
donnée par l’équation de Schrödinger dépendant du temps :
H C = j· ·
∂C
∂t
, avec
H = −
2
2·m
·D + w( #– r ,t)
où D =
∂
2
∂x 2 +
∂
2
∂ y 2 +
∂
2
∂z 2 est le laplacien et
H est l’opérateur hamiltonien,
c’est-à-dire : −
2
2·m
·DC + w( #– r , t)·C = j· ·
∂C
∂t
, avec j
2 = −1.
|C( #– r ,t)|
2 est la densité de probabilité de présence de la particule en #– r :
Probabilité [à l’instant t, la particule est dans le volume dt en #– r ] = |C( #– r ,t)|
2 ·dt, ce
qui suppose que C est normée à 1, c’est-à-dire
tout l’espace
|C( #– r ,t)|
2 ·dt = 1.
(C doit donc en principe tendre assez vite vers 0 à l’infini.)
Comme fonction de #– r , C doit être mathématiquement continue ; elle doit être
aussi à dérivées premières continues, sauf en une discontinuité infinie du potentiel
w( #– r ,t) (C est simplement nulle en cette discontinuité qui représente un « mur »
strictement infranchissable pour la particule).
Axiomes
Chaque grandeur physique A (observable) est décrite par un opérateur linéaire
A
construit à partir des opérateurs fondamentaux position et quantité de mouvement :
#– r = #– r · (soit
x = x· , ...)
#– p = − j· ·
# –
grad = − j· ·
#–
∇ (soit
p x = − j· ·
∂
∂ x
, ...)
Les valeurs possibles d’une observable A sont les valeurs propres a de
A :
Aa = a·a où la fonction a de #– r est la fonction propre associée.
AC = a·C⇔ [dans l’état C, l’observable A a la valeur a déterminée (c’est-àdire non aléatoire)].
Si la particule est dans un état C où la grandeur physique A n’a pas une valeur
déterminée et si C est exprimée comme mélange des fonctions propres a i , de
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 488 — #498
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pour une particule libre et s’applique par exemple aussi bien aux électrons d’un atome,
aux électrons d’un semi conducteur, aux protons et neutrons d’un noyau atomique ou
aux vibrations d’une molécule.
25.8.1 Principes et définitions
a) Les premiers principes
Axiomes
L’état mécanique d’une particule de masse m placée dans un potentiel w( #– r ,t) est
décrit par la fonction d’onde complexe C( #– r ,t), dont l’évolution dans le temps est
donnée par l’équation de Schrödinger dépendant du temps :
H C = j· ·
∂C
∂t
, avec
H = −
2
2·m
·D + w( #– r ,t)
où D =
∂
2
∂x 2 +
∂
2
∂ y 2 +
∂
2
∂z 2 est le laplacien et
H est l’opérateur hamiltonien,
c’est-à-dire : −
2
2·m
·DC + w( #– r , t)·C = j· ·
∂C
∂t
, avec j
2 = −1.
|C( #– r ,t)|
2 est la densité de probabilité de présence de la particule en #– r :
Probabilité [à l’instant t, la particule est dans le volume dt en #– r ] = |C( #– r ,t)|
2 ·dt, ce
qui suppose que C est normée à 1, c’est-à-dire
tout l’espace
|C( #– r ,t)|
2 ·dt = 1.
(C doit donc en principe tendre assez vite vers 0 à l’infini.)
Comme fonction de #– r , C doit être mathématiquement continue ; elle doit être
aussi à dérivées premières continues, sauf en une discontinuité infinie du potentiel
w( #– r ,t) (C est simplement nulle en cette discontinuité qui représente un « mur »
strictement infranchissable pour la particule).
Axiomes
Chaque grandeur physique A (observable) est décrite par un opérateur linéaire
A
construit à partir des opérateurs fondamentaux position et quantité de mouvement :
#– r = #– r · (soit
x = x· , ...)
#– p = − j· ·
# –
grad = − j· ·
#–
∇ (soit
p x = − j· ·
∂
∂ x
, ...)
Les valeurs possibles d’une observable A sont les valeurs propres a de
A :
Aa = a·a où la fonction a de #– r est la fonction propre associée.
AC = a·C⇔ [dans l’état C, l’observable A a la valeur a déterminée (c’est-àdire non aléatoire)].
Si la particule est dans un état C où la grandeur physique A n’a pas une valeur
déterminée et si C est exprimée comme mélange des fonctions propres a i , de
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