25.6. Modèles semi-quantiques de l’atome H
Exercice d’application 25.2
Calculer la plus petite longueur d’onde du rayonnement qui peut être émis ou
absorbé par un atome d’hydrogène passant d’un niveau d’énergie à l’autre.
SOLUTION. Longueur d’onde minimale ⇔ fréquence maximale ⇔ énergie maximale :
h·c / l = E ∞ − E 1 = W i ⇒l = h · c / W i ≈ 9,1·10
−9 m = 9,1 nm.
Les premières séries de l’hydrogène, interprétées ou prévues
par le modèle de Bohr en 1913, ont reçu le nom de leur découvreur :
• séries n = 1 de T. Lyman (1906-1914) dans l’ultraviolet,
• n = 2 de J.J. Balmer (1885) dans le visible,
• n = 3 de F. Paschen (1908) dans l’infrarouge,
• n = 4 de F.S. Brackett (1922),
• n = 5 de A.H. Pfund (1924),
• n = 6 de C.J. Humphreys (1952) dans l’infrarouge lointain,
• n = 7 de Hansen-Strong (1973).
L’étude des séries de Rydberg (n = 3) et de Pickering (n = 4) de l’ion He
+ (produit par
décharge électrique dans l’hélium gazeux), confirme le modèle de Bohr (R He ≈ 4R H ).
Théorème 25.8
v n étant la vitesse de l’électron sur l’orbite de Bohr n de l’ion hydrogénoïde, v 0
étant la vitesse de l’électron sur la première orbite de Bohr de l’atome H :
v n
c
=
Z
n
·a où a =
v 0
c
=
e
2
4·p·´ 0 · ·c
≈
1
137,04
est la constante de structure fine.
Diverses grandeurs peuvent s’exprimer en fonction de a :
a 0 =
1
a
·
m e ·c
, R n =
n
2
Z
·
1
a
·
m e ·c
, v n =
Z
n
·a·c , E n = −
Z
2
n 2 ·
a
2
2
·m e ·c
2 ,
R
∞
H =
a
2
2
·
m e ·c
h
=
a
2
2
·
m e ·c
2·p·
.
La vitesse de l’électron croissant avec n et avec Z, les effets relativistes qui apparaissent aux vitesses non négligeables devant la vitesse c de la lumière, concernent plutôt
les orbites proches du noyau des ions de Z élevé. La constante a représente le degré du
caractère relativiste de l’atome H et Z · a / n, celui de l’orbite n de l’ion hydrogénoïde
Z. Les effets relativistes sont faibles (mais non négligeables eu égard à la précision des
mesures spectroscopiques) pour l’atome H et plus importants pour les orbites proches
du noyau dans les atomes de Z plus élevé.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
485
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 485 — #495
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Calculer la plus petite longueur d’onde du rayonnement qui peut être émis ou
absorbé par un atome d’hydrogène passant d’un niveau d’énergie à l’autre.
SOLUTION. Longueur d’onde minimale ⇔ fréquence maximale ⇔ énergie maximale :
h·c / l = E ∞ − E 1 = W i ⇒l = h · c / W i ≈ 9,1·10
−9 m = 9,1 nm.
Les premières séries de l’hydrogène, interprétées ou prévues
par le modèle de Bohr en 1913, ont reçu le nom de leur découvreur :
• séries n = 1 de T. Lyman (1906-1914) dans l’ultraviolet,
• n = 2 de J.J. Balmer (1885) dans le visible,
• n = 3 de F. Paschen (1908) dans l’infrarouge,
• n = 4 de F.S. Brackett (1922),
• n = 5 de A.H. Pfund (1924),
• n = 6 de C.J. Humphreys (1952) dans l’infrarouge lointain,
• n = 7 de Hansen-Strong (1973).
L’étude des séries de Rydberg (n = 3) et de Pickering (n = 4) de l’ion He
+ (produit par
décharge électrique dans l’hélium gazeux), confirme le modèle de Bohr (R He ≈ 4R H ).
Théorème 25.8
v n étant la vitesse de l’électron sur l’orbite de Bohr n de l’ion hydrogénoïde, v 0
étant la vitesse de l’électron sur la première orbite de Bohr de l’atome H :
v n
c
=
Z
n
·a où a =
v 0
c
=
e
2
4·p·´ 0 · ·c
≈
1
137,04
est la constante de structure fine.
Diverses grandeurs peuvent s’exprimer en fonction de a :
a 0 =
1
a
·
m e ·c
, R n =
n
2
Z
·
1
a
·
m e ·c
, v n =
Z
n
·a·c , E n = −
Z
2
n 2 ·
a
2
2
·m e ·c
2 ,
R
∞
H =
a
2
2
·
m e ·c
h
=
a
2
2
·
m e ·c
2·p·
.
La vitesse de l’électron croissant avec n et avec Z, les effets relativistes qui apparaissent aux vitesses non négligeables devant la vitesse c de la lumière, concernent plutôt
les orbites proches du noyau des ions de Z élevé. La constante a représente le degré du
caractère relativiste de l’atome H et Z · a / n, celui de l’orbite n de l’ion hydrogénoïde
Z. Les effets relativistes sont faibles (mais non négligeables eu égard à la précision des
mesures spectroscopiques) pour l’atome H et plus importants pour les orbites proches
du noyau dans les atomes de Z plus élevé.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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