21.3. Analyse harmonique
Ce type de comportement fréquentiel est du type passe-bas : les fréquences inférieures
à la fréquence de coupure sont peu atténuées alors que les fréquences supérieures à
la fréquence de coupure sont atténuées, le système ne « laisse passer » que les basses
fréquences. La fréquence de coupure f 0 est d’autant plus faible que le système présente
une forte constante de temps t (donc un système lent).
21.3.4 Étude d’une transmittance du second ordre
Un système du second ordre sera caractérisé par une équation différentielle du second
ordre :
s +
2m
v 0
·
ds
dt
+
1
v 2
0
·
d
2 s
dt 2 = e,
à laquelle correspond l’égalité complexe :
e =
1 + 2m ·
j · v/v 0
+
j · v/v 0
2
· s
La transmittance d’un système du second ordre s’écrit sous la forme générale (avec
x = v/v 0 pulsation réduite) :
H (v) =
1
1 +
2m
v 0
( jv) +
1
v 2
0
( jv)
2
H (x) =
1
1 + 2 · m · ( j · x) + ( j · x) 2
Un système du second ordre est entièrement caractérisé par son facteur d’amortissement m et sa pulsation propre v 0 .
a) Étude de la transmittance
|H (x)| =
1
1 − x 2
2 + (2 · m · x) 2
argH (x) = − tan
−1
2 · m · x
1 − x
lim
x→0
|H (x)| = 1 lim
x→0
|H (x)| dB = 0 lim
x→0
argH (x) = 0
lim
x→+∞
|H (x)| = 0
lim
x→+∞
|H (x)| dB = −∞
lim
x→+∞
argH (x) = −180
◦
|H (1)| =
1
2 · m
argH (1) = −90
◦
Le module admet deux asymptotes qui se croisent en x = 1 (v = v 0 ) :
• lorsque v << v 0 , asymptote horizontale |H (x)| dB ≈ 0dB ;
• lorsque v >> v 0 , asymptote d’équation |H (x)| dB ≈ −40 · log(x). C’est une droite
de pente −40 dB/décade.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 427 — #437
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