21.1. Étude des circuits en régime sinusoïdal établi
Propriétés : dérivation et intégration.
dx
dt
=
d
dt
X m · e
j(vt+c)
= j · v · X m · e
j(vt+c) = j · v · x
La dérivée temporelle se traduit par une multiplication par j · v de la grandeur
complexe, soit une rotation du vecteur de 90
◦ et une multiplication par v de son module.
On démontre facilement que l’intégration revient à diviser par j · v.
21.1.3 Loi d’Ohm généralisée, impédance et admittance
Pour un circuit linéaire passif, on généralise la loi d’Ohm en définissant l’impédance
Z =
u
i
(en convention récepteur). En remplaçant u et i par leurs expressions, l’impédance s’écrit alors :
Z =
U m
I m
· e
jw = Z · e
jw Z = R + j · X
La partie réelle de Z est appelée la résistance (R = Z · cos w), sa partie imaginaire
la réactance (X = Z · sin w). Le module de l’impédance Z =
R
2 + X
2 est aussi le
rapport des amplitudes Z =
U m
I m
et son argument arg(Z ) = w = tan
−1 (X /R) constitue
le déphasage entre u et i.
L’admittance Y =
i
u
est l’inverse de l’impédance, elle s’écrit de manière générale :
Y =
1
Z
=
1
Z
· e
− jw Y = G + j · B
a) Impédance d’une résistance
L’impédance d’une résistance de valeur R a pour valeur :
Z = R
i R
u
u
i
(b)
(a)
Figure 21.4 (a) Symbole et convention de la résistance
(b) Représentation vectorielle de u et i
Le module de l’impédance est constant, son argument est nul donc courant et tension
sont en phase.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 419 — #429
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