Chapitre 21 • Circuits en régime sinusoïdal
Inversion
1
z
=
1
z
· e
− ju =
1
a + jb
=
a − jb
a 2 + b 2 =
a − jb
z 2
Soient deux nombres complexes, z 1 = a 1 + jb 1 = z 1 · e
ju 1 et z 2 = a 2 + jb 2 = z 2 · e
ju 2 :
Somme z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + j (b 1 + b 2 )
Produit z 1 · z 2 = z 1 · z 2 · e
j(u 1 +u 2 )
Rapport
z 1
z 2
=
z 1
z 2
· e
j(u 1 −u 2 )
b) Représentation complexe
Afin de simplifier l’étude des circuits (notamment la somme ou le rapport de grandeurs
sinusoïdales), on utilise la représentation complexe.
On suppose que la tension et le courant s’écrivent :
u = U m · cos (vt + c u )
i = I m · cos (vt + c i )
Aux deux grandeurs réelles nous faisons correspondre deux grandeurs complexes.
u = U m · e
j(vt+c u ) = U m · cos (vt + c u ) + j · U m · sin (vt + c u )
i = I m · e
j(vt+c i ) = I m · cos (vt + c i ) + j · I m · sin (vt + c i )
u = Re{u}
i = Re{i}
u = U m · e
jc u · e
j(vt) = U m · e
j(vt)
i = I m · e
jc i · e
j(vt) = I m · e
j(vt)
Les grandeurs U m = U m · e
jc u et I m = I m · e
jc i sont appelées amplitudes complexes.
Elles portent toutes les informations utiles (amplitude et phase). Si l’on doit additionner
deux grandeurs sinusoïdales, ce sont leurs amplitudes complexes qu’il faut additionner.
On peut représenter u et i dans le plan complexe par des vecteurs tournant à la vitesse
angulaire v.
t
ω
=
θ
(a)
0
ϕ
u
i
Re
Im
0
u
ϕ
i
(b)
Figure 21.3 (a) Représentation temporelle de u et i (b) Représentation vectorielle de u et i
On désigne par w le déphasage de u par rapport à i , w = c u − c i .
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 418 — #428
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