Chapitre 20 • Circuits en régime continu
Cette équation du second ordre est entièrement caractérisée par son facteur d’amortissement m et sa pulsation propre v 0 .
Dans le circuit RLC série de l’exemple v 0 =
1
√
L · C
et m =
R
2
C
L
.
Le facteur d’amortissement est généralement une grandeur positive, il dépend de la
valeur des éléments dissipatifs (la résistance dans notre exemple).
En fonction de sa valeur, il existera différents types de régime libre. La résolution
de cette équation passera systématiquement par la résolution de l’équation homogène
v
2
0 · x + 2mv 0 ·
dx
dt
+
d
2 x
dt 2 = 0.
La recherche de solutions de la forme x l (t) = e
rt nous conduit à la recherche des
racines du polynôme caractéristique r
2 +2mv 0 ·r +v
2
0 = 0. Selon le signe du discriminant,
les racines seront de nature différente.
L’allure des grandeurs électriques en régime transitoire dépend essentiellement de
la valeur du facteur d’amortissement (quatre cas seront envisagés). Quel que soit m,
le régime forcé sera le même (x f (t) = Y si y est constant), seul le régime libre sera
différent.
• m > 1 : régime apériode (ou sur-amorti)
x l (t) = K 1 · e
−t/t 1 + K 2 · e
−t/t 2
t 1 =
1
v 0
m −
√
m 2 − 1
t 2 =
1
v 0
m +
√
m 2 − 1
• m = 1 : régime critique
x l (t) = (K 1 + K 2 · t) e
−t/t
avec t =
1
v 0 · m
• 0 < m < 1 : régime pseudo-période (ou sous-amorti)
x l (t) = (K 1 · cos(v · t) + K 2 · sin(v · t)) · e
−t/t
x l (t) = K · e
−t/t · sin(vt + c)
t =
1
v 0 · m
v = v 0 ·
1 − m 2 (pseudo pulsation)
K =
K
2
1 + K
2
2
tan c = K 1 /K 2
• m = 0 : régime périodique (ou oscillant)
x l (t) = K 1 · cos (v 0 · t) + K 2 · sin (v 0 · t) x l (t) = K · sin (v 0 t + c)
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 410 — #420
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Cette équation du second ordre est entièrement caractérisée par son facteur d’amortissement m et sa pulsation propre v 0 .
Dans le circuit RLC série de l’exemple v 0 =
1
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L · C
et m =
R
2
C
L
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Le facteur d’amortissement est généralement une grandeur positive, il dépend de la
valeur des éléments dissipatifs (la résistance dans notre exemple).
En fonction de sa valeur, il existera différents types de régime libre. La résolution
de cette équation passera systématiquement par la résolution de l’équation homogène
v
2
0 · x + 2mv 0 ·
dx
dt
+
d
2 x
dt 2 = 0.
La recherche de solutions de la forme x l (t) = e
rt nous conduit à la recherche des
racines du polynôme caractéristique r
2 +2mv 0 ·r +v
2
0 = 0. Selon le signe du discriminant,
les racines seront de nature différente.
L’allure des grandeurs électriques en régime transitoire dépend essentiellement de
la valeur du facteur d’amortissement (quatre cas seront envisagés). Quel que soit m,
le régime forcé sera le même (x f (t) = Y si y est constant), seul le régime libre sera
différent.
• m > 1 : régime apériode (ou sur-amorti)
x l (t) = K 1 · e
−t/t 1 + K 2 · e
−t/t 2
t 1 =
1
v 0
m −
√
m 2 − 1
t 2 =
1
v 0
m +
√
m 2 − 1
• m = 1 : régime critique
x l (t) = (K 1 + K 2 · t) e
−t/t
avec t =
1
v 0 · m
• 0 < m < 1 : régime pseudo-période (ou sous-amorti)
x l (t) = (K 1 · cos(v · t) + K 2 · sin(v · t)) · e
−t/t
x l (t) = K · e
−t/t · sin(vt + c)
t =
1
v 0 · m
v = v 0 ·
1 − m 2 (pseudo pulsation)
K =
K
2
1 + K
2
2
tan c = K 1 /K 2
• m = 0 : régime périodique (ou oscillant)
x l (t) = K 1 · cos (v 0 · t) + K 2 · sin (v 0 · t) x l (t) = K · sin (v 0 t + c)
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