20.2. Établissement du régime continu
Les solutions à ces équations sont égales à :
u(t) = u(0) · e
−t/t
i(t) = −
u(0)
R
· e
−t/t
t = R · C
La tension u décroît depuis sa valeur initiale u(0) et tend vers 0, le condensateur
se décharge à travers la résistance. Le courant est négatif car les charges quittent les
armatures. Le bilan d’énergie s’écrit
∞
0
u · i · dt = −
∞
0
R · i
2 · dt. Toute l’énergie
initialement emmagasinée dans le condensateur
1
2
C · u
2 (0) se dissipe par effet Joule
dans la résistance.
20.2.2 Étude des circuits du second ordre
Ces circuits comportent deux dipôles réactifs, une résistance et une source continue.
a) Exemple : circuit RLC série avec une source de tension
On suppose qu’à l’instant t = 0, on connecte une source de tension constante E à
un circuit constitué de l’association en série d’une résistance, d’une bobine et d’un
condensateur.
u + R · i + L ·
di
dt
= E
i = C ·
du
dt
On obtient l’équation de la tension puis celle du courant en dérivant l’équation de la
tension :
u + R · C ·
du
dt
+ L · C
d
2 u
dt 2 = E
i + R · C ·
di
dt
+ L · C
d
2 i
dt 2 = 0
R
C
u
i
E
L
Figure 20.12 Circuit RLC série connecté à une source de tension
b) Solution générale de l’équation avec second membre constant et
caractéristiques de cette solution
Dans l’exemple précédent, pour le courant et la tension, on trouve une équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants de forme générale :
x +
2m
v 0
·
dx
dt
+
1
v 2
0
·
d
2 x
dt 2 = y ou v
2
0 · x + 2mv 0 ·
dx
dt
+
d
2 x
dt 2 = v
2
0 · y
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 409 — #419
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