Chapitre 1 • Cinématique du point
x
O
M
Z
u z
u φ
θ
m
z
θ
θ
u θ
r
⊗
Figure 1.5 Vue du plan (Om, OZ)
• Les coordonnées sphériques se rapprochent des coordonnées géographiques utilisées pour représenter un point à la surface du globe terrestre ; la colatitude u est
en fait l’angle complémentaire de la latitude géographique (complément à 90
◦ ), la
latitude étant définie dans l’intervalle [– p/2, p/2], avec la latitude Nord définie dans
le domaine [0, p/2] et la latitude Sud dans le domaine [– p/2, 0] ; la longitude géographique varie dans l’intervalle [– p, p], avec la longitude Ouest dans le domaine [– p,
0] et la longitude Est dans [0, p].
d) Le repère local de Frenet
Un autre repère local appelé repère de Frenet, peut être utilisé pour décrire la position d’un point M. Il est représenté sur une courbe qui, par définition, correspond à
l’ensemble des positions prises par le point M au cours d’une trajectoire quelconque.
Sur cette courbe on fixe une origine A et un sens pris en général positif dans le sens
du mouvement. La position du point M sur la courbe est alors repérée par la donnée
de son abscisse dite curviligne et notée s(M) : cette abscisse correspond en fait à la
longueur de l’arc orienté AM.
On fait l’hypothèse que lorsque l’arc de cercle AM est infiniment petit, la courbe peut
être considérée comme inscrite dans un plan appelé alors plan osculateur. Dans ce cas,
on définit une repère local dit de Frenet avec une base orthonormée directe (
#–
T ,
#–
N ,
#–
B ),
où
#–
T est le vecteur tangent à la courbe au point M (pour simplifier le formalisme, le sens
de
#–
T est en général pris dans le sens du mouvement), le vecteur
#–
N est perpendiculaire
à
#–
T et dirigé vers la concavité de la courbe (
#–
N définit alors la normale principale à la
courbe), et le vecteur
#–
B est perpendiculaire à
#–
N et
#–
T et tel que le trièdre (
#–
T ,
#–
N ,
#–
B ) soit
direct (
#–
B définit alors la binormale à la courbe). À noter que
#–
T et
#–
N sont inscrits dans
le plan osculateur de la courbe lorsque M est très proche de A. La base (
#–
T ,
#–
N ,
#–
B ) est
mobile et suit le mouvement de M sur la courbe.
Pour déterminer un rayon de courbure, on prend deux points M et M’ proches sur une
courbe, on trace les
Voir site
web
tangentes à la courbe en ces points, puis on trace les perpendiculaires
à ces tangentes (aux points M et M’) vers la concavité de la courbe : l’intersection de
ces droites donne le centre de courbure noté C et le rayon de courbure noté R c est tel
que CM = R c .
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u z
u φ
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Figure 1.5 Vue du plan (Om, OZ)
• Les coordonnées sphériques se rapprochent des coordonnées géographiques utilisées pour représenter un point à la surface du globe terrestre ; la colatitude u est
en fait l’angle complémentaire de la latitude géographique (complément à 90
◦ ), la
latitude étant définie dans l’intervalle [– p/2, p/2], avec la latitude Nord définie dans
le domaine [0, p/2] et la latitude Sud dans le domaine [– p/2, 0] ; la longitude géographique varie dans l’intervalle [– p, p], avec la longitude Ouest dans le domaine [– p,
0] et la longitude Est dans [0, p].
d) Le repère local de Frenet
Un autre repère local appelé repère de Frenet, peut être utilisé pour décrire la position d’un point M. Il est représenté sur une courbe qui, par définition, correspond à
l’ensemble des positions prises par le point M au cours d’une trajectoire quelconque.
Sur cette courbe on fixe une origine A et un sens pris en général positif dans le sens
du mouvement. La position du point M sur la courbe est alors repérée par la donnée
de son abscisse dite curviligne et notée s(M) : cette abscisse correspond en fait à la
longueur de l’arc orienté AM.
On fait l’hypothèse que lorsque l’arc de cercle AM est infiniment petit, la courbe peut
être considérée comme inscrite dans un plan appelé alors plan osculateur. Dans ce cas,
on définit une repère local dit de Frenet avec une base orthonormée directe (
#–
T ,
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N ,
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B ),
où
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T est le vecteur tangent à la courbe au point M (pour simplifier le formalisme, le sens
de
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T est en général pris dans le sens du mouvement), le vecteur
#–
N est perpendiculaire
à
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T et dirigé vers la concavité de la courbe (
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N définit alors la normale principale à la
courbe), et le vecteur
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B est perpendiculaire à
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N et
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T et tel que le trièdre (
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T ,
#–
N ,
#–
B ) soit
direct (
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B définit alors la binormale à la courbe). À noter que
#–
T et
#–
N sont inscrits dans
le plan osculateur de la courbe lorsque M est très proche de A. La base (
#–
T ,
#–
N ,
#–
B ) est
mobile et suit le mouvement de M sur la courbe.
Pour déterminer un rayon de courbure, on prend deux points M et M’ proches sur une
courbe, on trace les
Voir site
web
tangentes à la courbe en ces points, puis on trace les perpendiculaires
à ces tangentes (aux points M et M’) vers la concavité de la courbe : l’intersection de
ces droites donne le centre de courbure noté C et le rayon de courbure noté R c est tel
que CM = R c .
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