Chapitre 20 • Circuits en régime continu
La solution générale de ce type d’équation différentielle s’écrit comme la somme de
deux termes x(t) = x l (t) + x f (t) .
• x l (t) est la solution à l’équation sans second membre (y = 0), appelée équation
homogène. On l’appelle « régime libre » car il correspond à un circuit sans source où
x(t) évolue librement à partir d’une valeur initiale. Ce régime est caractéristique du
circuit lui-même et ne dépend pas des sources du circuit.
• x f (t) est la solution particulière à l’équation avec second membre. On l’appelle
« régime forcé ». En effet, le second membre contient l’action des sources du circuit
qui forcent x(t) à être du même type qu’elles.
Remarque
Si le circuit comporte des éléments dissipatifs (résistance), alors après une durée
suffisante le régime libre s’éteint (x l (t) tend vers 0) et ne persiste que le régime forcé.
c) Solution générale de l’équation avec second membre constant et
caractéristiques de cette solution
Dans notre cas, avec un second membre y(t) = Y constant, les solutions sont :
x l (t) = K · e
−t/t
x f (t) = Y
La détermination de la constante d’intégration K se fait par la connaissance de la
condition initiale x(0).
On peut alors donner une écriture générale de la solution sous la forme :
x(t) = (x(0) − Y) · e
−t/t + Y
Le problème ne consiste plus qu’à écrire l’équation différentielle sous sa forme
générale, identifier la constante de temps t du circuit et déterminer la valeur initiale
(on s’appuie alors sur la propriété de non-discontinuité de la tension aux bornes d’un
condensateur ou du courant dans une bobine).
Remarque
lim
t→∞
x(t) = Y, toutefois l’évolution du circuit peut-être telle que x n’atteint pas sa valeur
finale Y.
• Caractéristiques principales de la réponse temporelle
La tangente à l’origine de x(t) a pour équation x(t) = (Y − x(0)) ·
t
t
+ x(0).
À l’instant t = t, la tangente a pour valeur Y.
En définissant la variation maximale de x(t) par Dx = Y − x(0), on peut écrire :
x(t) − x(0) = Dx ·
1 − e
−t/t
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 406 — #416
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La solution générale de ce type d’équation différentielle s’écrit comme la somme de
deux termes x(t) = x l (t) + x f (t) .
• x l (t) est la solution à l’équation sans second membre (y = 0), appelée équation
homogène. On l’appelle « régime libre » car il correspond à un circuit sans source où
x(t) évolue librement à partir d’une valeur initiale. Ce régime est caractéristique du
circuit lui-même et ne dépend pas des sources du circuit.
• x f (t) est la solution particulière à l’équation avec second membre. On l’appelle
« régime forcé ». En effet, le second membre contient l’action des sources du circuit
qui forcent x(t) à être du même type qu’elles.
Remarque
Si le circuit comporte des éléments dissipatifs (résistance), alors après une durée
suffisante le régime libre s’éteint (x l (t) tend vers 0) et ne persiste que le régime forcé.
c) Solution générale de l’équation avec second membre constant et
caractéristiques de cette solution
Dans notre cas, avec un second membre y(t) = Y constant, les solutions sont :
x l (t) = K · e
−t/t
x f (t) = Y
La détermination de la constante d’intégration K se fait par la connaissance de la
condition initiale x(0).
On peut alors donner une écriture générale de la solution sous la forme :
x(t) = (x(0) − Y) · e
−t/t + Y
Le problème ne consiste plus qu’à écrire l’équation différentielle sous sa forme
générale, identifier la constante de temps t du circuit et déterminer la valeur initiale
(on s’appuie alors sur la propriété de non-discontinuité de la tension aux bornes d’un
condensateur ou du courant dans une bobine).
Remarque
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t→∞
x(t) = Y, toutefois l’évolution du circuit peut-être telle que x n’atteint pas sa valeur
finale Y.
• Caractéristiques principales de la réponse temporelle
La tangente à l’origine de x(t) a pour équation x(t) = (Y − x(0)) ·
t
t
+ x(0).
À l’instant t = t, la tangente a pour valeur Y.
En définissant la variation maximale de x(t) par Dx = Y − x(0), on peut écrire :
x(t) − x(0) = Dx ·
1 − e
−t/t
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