20.2. Établissement du régime continu
Cette formule nous permet d’exprimer quelques valeurs remarquables :
x(t) − x(0) ≈ 0,63 · Dx
Après une durée t, x(t) a évolué de 63 % de sa variation maximale.
x(3 · t) − x(0) ≈ 0,95 · Dx
Après une durée 3 · t, x(t) a évolué de 95 % de sa variation maximale.
x(4,6 · t) − x(0) ≈ 0,99 · Dx
Après une durée 4,6 · t ≈ 5t, x(t) a évolué de 99 % de sa variation maximale.
d) Circuit RC avec une source de tension
L’application de la méthode précédente au circuit RC, conduit aux résultats suivants :
u(t) = (u(0) − E) · e
−t/t + E
i(t) =
E − u(0)
R
· e
−t/t
t = R · C
Remarque
Comme i = C ·
du
dt
, on peut obtenir l’expression du courant par dérivation et multiplication par C de l’expression de la tension.
Dans le cas où le condensateur est initialement déchargé (u(0) = 0), on obtient :
u(t) = E
1 − e
−t/t
i(t) =
E
R
· e
−t/t
Afin de donner un représentation générale de ces grandeurs, on représente la tension
normalisée u/E et le courant normalisé R · i/E en fonction du temps normalisé t/t.
La tension u augmente et tend vers la tension E après une durée d’environ 5 × R · C,
la charge finale est alors égale à q = C · E, le courant tend vers zéro car il n’y a plus
de charges à apporter sur les armatures. À partir de la loi des mailles E = u + R · i, on
établit le bilan énergétique du circuit :
E·i = u ·i +R·i
2
∞
0
E·i ·dt =
∞
0
u ·i ·dt +
∞
0
R·i
2 ·dt
∞
0
i ·dt = q = C·E
Le terme à gauche de l’égalité correspond à la puissance fournie par la source, il est
égal à C · E
2 . Le premier terme à droite de l’égalité correspond à l’énergie emmagasiné
par le condensateur, il est égal à
1
2
· C · E
2 . Le second terme à droite de l’égalité
correspond à l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance, égale dans notre cas à
l’énergie emmagasinée par le condensateur.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
407
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 407 — #417
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x(t) − x(0) ≈ 0,63 · Dx
Après une durée t, x(t) a évolué de 63 % de sa variation maximale.
x(3 · t) − x(0) ≈ 0,95 · Dx
Après une durée 3 · t, x(t) a évolué de 95 % de sa variation maximale.
x(4,6 · t) − x(0) ≈ 0,99 · Dx
Après une durée 4,6 · t ≈ 5t, x(t) a évolué de 99 % de sa variation maximale.
d) Circuit RC avec une source de tension
L’application de la méthode précédente au circuit RC, conduit aux résultats suivants :
u(t) = (u(0) − E) · e
−t/t + E
i(t) =
E − u(0)
R
· e
−t/t
t = R · C
Remarque
Comme i = C ·
du
dt
, on peut obtenir l’expression du courant par dérivation et multiplication par C de l’expression de la tension.
Dans le cas où le condensateur est initialement déchargé (u(0) = 0), on obtient :
u(t) = E
1 − e
−t/t
i(t) =
E
R
· e
−t/t
Afin de donner un représentation générale de ces grandeurs, on représente la tension
normalisée u/E et le courant normalisé R · i/E en fonction du temps normalisé t/t.
La tension u augmente et tend vers la tension E après une durée d’environ 5 × R · C,
la charge finale est alors égale à q = C · E, le courant tend vers zéro car il n’y a plus
de charges à apporter sur les armatures. À partir de la loi des mailles E = u + R · i, on
établit le bilan énergétique du circuit :
E·i = u ·i +R·i
2
∞
0
E·i ·dt =
∞
0
u ·i ·dt +
∞
0
R·i
2 ·dt
∞
0
i ·dt = q = C·E
Le terme à gauche de l’égalité correspond à la puissance fournie par la source, il est
égal à C · E
2 . Le premier terme à droite de l’égalité correspond à l’énergie emmagasiné
par le condensateur, il est égal à
1
2
· C · E
2 . Le second terme à droite de l’égalité
correspond à l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance, égale dans notre cas à
l’énergie emmagasinée par le condensateur.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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