Chapitre 1 • Cinématique du point
Figure 1.2 Système de coordonnées cylindriques
Représentation du système de coordonnées cylindriques
dans le repère (O, #– ur, #– u u , #– uz) : cas du point M de coordonnées (r, u, z), et du vecteur position
#–
r =
# –
OM.
x
y
z
O
M
X
Y
Z
H
m
ρ
θ
u ρ
u θ
u z
u ρ
u θ
u z
Remarques
• Si le mouvement a lieu dans le plan (OX, OY ), il n’est pas nécessaire d’utiliser la cote z.
On utilise alors les coordonnées polaires (r, angle polaire u). Ainsi, les coordonnées
cylindriques correspondent aux coordonnées polaires auxquelles on ajoute la cote z :
on parle parfois de coordonnées cylindriques ou cylindro-polaires.
• Les relations entre les coordonnées cylindriques et cartésiennes sont les suivantes
Voir site
web
:
x = r · cos u, y = r · sin u, z = z, r =
x 2 + y 2
• Lorsqu’on dérive un vecteur par rapport à son angle polaire, on obtient un vecteur
directement perpendiculaire (formant un angle de + 90
◦ dans le sens trigonométrique).
Ainsi, dans les systèmes cylindrique et polaire, on a :
d #– ur
du
= #–
uu
et
d
2 #– ur
du 2 =
d #– uu
du
= − #–
ur
c) Le système de coordonnées sphériques
La position du point M est ici définie dans un repère (O, #– u r , #– u u , #– u f ). On introduit ici la
base ( #– u r , #– u u , #– u f ) orthonormée directe, associée aux coordonnées sphériques (r, u, f).
DESSIN
Comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, on note H et m les projections orthogonales du point M sur l’axe OZ et le plan (OX, OY ) respectivement. Le point H a pour
cote z qui est la coordonnée de M suivant l’axe OZ (Fig 1.3).
• La distance entre O et M est notée r, soit r = OM.
• l’angle entre l’axe OZ et le vecteur
# –
OM est noté u et est appelé colatitude.
• l’angle entre l’axe OX et Om est noté f et est appelé longitude.
Pour couvrir tout l’espace, il suffit que les coordonnées sphériques décrivent les
intervalles suivants :
r ∈ [0, + ∞[ u ∈ [0, p] f ∈ [0, 2p]
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 28 — #38
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Figure 1.2 Système de coordonnées cylindriques
Représentation du système de coordonnées cylindriques
dans le repère (O, #– ur, #– u u , #– uz) : cas du point M de coordonnées (r, u, z), et du vecteur position
#–
r =
# –
OM.
x
y
z
O
M
X
Y
Z
H
m
ρ
θ
u ρ
u θ
u z
u ρ
u θ
u z
Remarques
• Si le mouvement a lieu dans le plan (OX, OY ), il n’est pas nécessaire d’utiliser la cote z.
On utilise alors les coordonnées polaires (r, angle polaire u). Ainsi, les coordonnées
cylindriques correspondent aux coordonnées polaires auxquelles on ajoute la cote z :
on parle parfois de coordonnées cylindriques ou cylindro-polaires.
• Les relations entre les coordonnées cylindriques et cartésiennes sont les suivantes
Voir site
web
:
x = r · cos u, y = r · sin u, z = z, r =
x 2 + y 2
• Lorsqu’on dérive un vecteur par rapport à son angle polaire, on obtient un vecteur
directement perpendiculaire (formant un angle de + 90
◦ dans le sens trigonométrique).
Ainsi, dans les systèmes cylindrique et polaire, on a :
d #– ur
du
= #–
uu
et
d
2 #– ur
du 2 =
d #– uu
du
= − #–
ur
c) Le système de coordonnées sphériques
La position du point M est ici définie dans un repère (O, #– u r , #– u u , #– u f ). On introduit ici la
base ( #– u r , #– u u , #– u f ) orthonormée directe, associée aux coordonnées sphériques (r, u, f).
DESSIN
Comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, on note H et m les projections orthogonales du point M sur l’axe OZ et le plan (OX, OY ) respectivement. Le point H a pour
cote z qui est la coordonnée de M suivant l’axe OZ (Fig 1.3).
• La distance entre O et M est notée r, soit r = OM.
• l’angle entre l’axe OZ et le vecteur
# –
OM est noté u et est appelé colatitude.
• l’angle entre l’axe OX et Om est noté f et est appelé longitude.
Pour couvrir tout l’espace, il suffit que les coordonnées sphériques décrivent les
intervalles suivants :
r ∈ [0, + ∞[ u ∈ [0, p] f ∈ [0, 2p]
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