1.1. Repérage d’un point matériel dans l’espace et dans le temps
x
y
z
O
M
X
Y
Z
u x
u y
u z
H
m
Figure 1.1 Système de coordonnées
cartésiennes
Représentation du système de coordonnées cartésiennes dans le repère (O, #– ux , #– uy , #– uz) : cas du point
M de coordonnées (x, y, z), et du vecteur position
#–
r =
# –
OM.
b) Le système de coordonnées cylindriques
La position du point M est ici définie dans un repère (O, #– u r , #– u u , #– u z ). On introduit ici la
base ( #– u r , #– u u , #– u z ) orthonormée directe, associée aux coordonnées cylindriques (r, u, z).
DESSIN
Comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, on note H et m les projections orthogonales du point M sur l’axe OZ et le plan (OX, OY ) respectivement. Le point H a pour cote z
qui est la coordonnée de M suivant l’axe OZ. On note Om = r et l’angle entre l’axe OX et
Om est appelé u (Fig. 1.2).
Les vecteurs de cette base sont définis comme suit :
1. #– u r =
# –
Om
r
dans le plan (OX, OY) ; #– u r est appelé vecteur radial.
2. #– u u est obtenu par rotation de + p/2 dans le sens trigonométrique (inverse des
aiguilles d’une montre) à partir du vecteur #– u r , dans le plan (OX, OY). #– u u est appelé
vecteur orthoradial.
3. #– u z est le vecteur directeur de l’axe OZ, identique à celui du repère associé aux
coordonnées cartésiennes.
À noter que ce repère n’est pas lié au point O, donc n’est pas lié au référentiel R . Le
repère cylindrique est associé au point M, c’est donc un repère local mobile. Dans ce
repère, le vecteur position du point M s’écrit :
#– r =
# –
O M =
# –
Om +
# –
m M = r · #– u r + z · #– u z
Les coordonnées cylindriques sont définies comme suit : r est une distance donc
toujours positive ; la cote z est une valeur algébrique (positive ou négative) ; l’angle u
est orienté dans le sens (+) défini en imaginant une rotation de l’axe OX vers l’axe OY.
Pour couvrir tout l’espace, il suffit que les coordonnées cylindriques décrivent les
intervalles suivants :
r ∈ [0, + ∞[ u ∈ [0, 2p] z ∈ ]– ∞, + ∞[
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 27 — #37
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u y
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Représentation du système de coordonnées cartésiennes dans le repère (O, #– ux , #– uy , #– uz) : cas du point
M de coordonnées (x, y, z), et du vecteur position
#–
r =
# –
OM.
b) Le système de coordonnées cylindriques
La position du point M est ici définie dans un repère (O, #– u r , #– u u , #– u z ). On introduit ici la
base ( #– u r , #– u u , #– u z ) orthonormée directe, associée aux coordonnées cylindriques (r, u, z).
DESSIN
Comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, on note H et m les projections orthogonales du point M sur l’axe OZ et le plan (OX, OY ) respectivement. Le point H a pour cote z
qui est la coordonnée de M suivant l’axe OZ. On note Om = r et l’angle entre l’axe OX et
Om est appelé u (Fig. 1.2).
Les vecteurs de cette base sont définis comme suit :
1. #– u r =
# –
Om
r
dans le plan (OX, OY) ; #– u r est appelé vecteur radial.
2. #– u u est obtenu par rotation de + p/2 dans le sens trigonométrique (inverse des
aiguilles d’une montre) à partir du vecteur #– u r , dans le plan (OX, OY). #– u u est appelé
vecteur orthoradial.
3. #– u z est le vecteur directeur de l’axe OZ, identique à celui du repère associé aux
coordonnées cartésiennes.
À noter que ce repère n’est pas lié au point O, donc n’est pas lié au référentiel R . Le
repère cylindrique est associé au point M, c’est donc un repère local mobile. Dans ce
repère, le vecteur position du point M s’écrit :
#– r =
# –
O M =
# –
Om +
# –
m M = r · #– u r + z · #– u z
Les coordonnées cylindriques sont définies comme suit : r est une distance donc
toujours positive ; la cote z est une valeur algébrique (positive ou négative) ; l’angle u
est orienté dans le sens (+) défini en imaginant une rotation de l’axe OX vers l’axe OY.
Pour couvrir tout l’espace, il suffit que les coordonnées cylindriques décrivent les
intervalles suivants :
r ∈ [0, + ∞[ u ∈ [0, 2p] z ∈ ]– ∞, + ∞[
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