Chapitre 1 • Cinématique du point
1.1.1 Repérage d’un point dans l’espace
Pour décrire la position d’un objet dans l’espace, il est nécessaire de disposer d’une
référence. Par exemple, un homme assis dans un train est immobile par rapport au wagon,
mais en mouvement par rapport à la Terre. Ainsi pour déterminer le mouvement d’un
point, on se rapporte à un solide S supposé indéformable qui doit être défini clairement.
Ce solide constitue le référentiel d’étude R .
Ensuite, on repère les points de l’espace dans ce référentiel à l’aide d’un repère
orthonormé direct, soit un point origine particulier au solide S (souvent on prend le
centre de gravité de S) et 3 axes orthogonaux formant un trièdre direct. Plusieurs repères
ou systèmes de coordonnées peuvent alors être choisis en fonction notamment de la
géométrie du problème.
Un bon schéma est la clef de la résolution de tout problème de mécanique. Comme
l’objectif est de décrire ici des mouvements dans l’espace, il est particulièrement important de savoir faire des dessins en perspective, et de savoir réaliser des projections
adéquates selon des plans bien choisis. C’est ce qui sera détaillé dans la présentation
des systèmes de coordonnées.
a) Le système de coordonnées cartésiennes
On considère un repère constitué de trois axes X, Y, Z rattachés à un point origine O
caractéristique du solide de référence (R ) évoqué plus haut. À ce repère on associe une
base orthonormée directe ( #– u x , #– u y , #– u z ). Les vecteurs #– u x , #– u y , #– u z sont alors les vecteurs
unitaires des axes OX, OY et OZ respectivement.
Remarque
La base ( #– ux , #– uy , #– uz) est orthonormée directe lorsque #– ux = #– uy = #– uz = 1, les trois
vecteurs sont orthogonaux deux à deux, et #– ux ∧ #–
uy = #– uz.
À un instant donné, on note la position du point M par le vecteur #– r =
# –
O M qui
s’appelle le vecteur position. On note également les coordonnées cartésiennes x, y et z
du point M qui sont définies par la relation suivante :
#– r =
# –
O M = x · #– u x + y · #– u y + z · #– u z
Les coordonnées x, y et z sont des grandeurs algébriques positives ou négatives.
DESSIN
Pour représenter ce système de coordonnées, on marque d’abord le point matériel M.
Ensuite on projette ce point M sur l’axe OZ : on obtient alors le point H de coordonnée z
sur l’axe OZ. On projette M orthogonalement dans le plan (OX, OY ) en traçant une parallèle
à l’axe OZ passant par M : on obtient alors le point m. On trace alors les droites passant
par m et parallèles aux axes OX et OY : les intersections de ces droites avec les axes OX
et OY donnent les coordonnées x et y du point M (Fig. 1.1).
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 26 — #36
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1.1.1 Repérage d’un point dans l’espace
Pour décrire la position d’un objet dans l’espace, il est nécessaire de disposer d’une
référence. Par exemple, un homme assis dans un train est immobile par rapport au wagon,
mais en mouvement par rapport à la Terre. Ainsi pour déterminer le mouvement d’un
point, on se rapporte à un solide S supposé indéformable qui doit être défini clairement.
Ce solide constitue le référentiel d’étude R .
Ensuite, on repère les points de l’espace dans ce référentiel à l’aide d’un repère
orthonormé direct, soit un point origine particulier au solide S (souvent on prend le
centre de gravité de S) et 3 axes orthogonaux formant un trièdre direct. Plusieurs repères
ou systèmes de coordonnées peuvent alors être choisis en fonction notamment de la
géométrie du problème.
Un bon schéma est la clef de la résolution de tout problème de mécanique. Comme
l’objectif est de décrire ici des mouvements dans l’espace, il est particulièrement important de savoir faire des dessins en perspective, et de savoir réaliser des projections
adéquates selon des plans bien choisis. C’est ce qui sera détaillé dans la présentation
des systèmes de coordonnées.
a) Le système de coordonnées cartésiennes
On considère un repère constitué de trois axes X, Y, Z rattachés à un point origine O
caractéristique du solide de référence (R ) évoqué plus haut. À ce repère on associe une
base orthonormée directe ( #– u x , #– u y , #– u z ). Les vecteurs #– u x , #– u y , #– u z sont alors les vecteurs
unitaires des axes OX, OY et OZ respectivement.
Remarque
La base ( #– ux , #– uy , #– uz) est orthonormée directe lorsque #– ux = #– uy = #– uz = 1, les trois
vecteurs sont orthogonaux deux à deux, et #– ux ∧ #–
uy = #– uz.
À un instant donné, on note la position du point M par le vecteur #– r =
# –
O M qui
s’appelle le vecteur position. On note également les coordonnées cartésiennes x, y et z
du point M qui sont définies par la relation suivante :
#– r =
# –
O M = x · #– u x + y · #– u y + z · #– u z
Les coordonnées x, y et z sont des grandeurs algébriques positives ou négatives.
DESSIN
Pour représenter ce système de coordonnées, on marque d’abord le point matériel M.
Ensuite on projette ce point M sur l’axe OZ : on obtient alors le point H de coordonnée z
sur l’axe OZ. On projette M orthogonalement dans le plan (OX, OY ) en traçant une parallèle
à l’axe OZ passant par M : on obtient alors le point m. On trace alors les droites passant
par m et parallèles aux axes OX et OY : les intersections de ces droites avec les axes OX
et OY donnent les coordonnées x et y du point M (Fig. 1.1).
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