18.3. Équations de Maxwell et propagation du champ électromagnétique
On en déduit :
# –
rot
#–
E = −
∂
#–
B
∂t
c) Équation du flux magnétique
Dans les propriétés du champ magnétique énoncées au § 17.3.1, nous avons vu que le
champ
#–
B est à flux conservatif :
#–
B ·
# –
dS = 0.
En utilisant le théorème d’Ostrogradsky, on en déduit que la forme locale équivalente
s’écrit :
div
#–
B = 0
d) Équation de Maxwell-Ampère
Cette dernière équation, pour sa partie magnétostatique (champs indépendants du temps)
est la forme locale du théorème d’Ampère (voir le § 17.3.2). On a :
G
#–
B (M) ·
#–
dl(M) = m 0
I = m 0
S
#–
j · d
#–
S
En utilisant le théorème de Stokes, on obtient l’équation de Maxwell-Ampère en
magnétostatique :
# –
rot
#–
B = m 0 ·
#–
j
Une des contributions essentielles de Maxwell fut d’émettre l’hypothèse d’un courant
de déplacement lié à la variation temporelle du champ électrique ; les expériences
confirmant les idées de Maxwell vinrent plus tard (voir paragraphe suivant).
18.3.2 Propagation du champ électromagnétique dans le vide
À partir des équations de Maxwell, on peut établir les équations de propagation du
champ électromagnétique dans un espace vide de charge et de courant.
a) Propagation du champ électrique
À partir des équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère :
# –
rot
#–
E = −
∂
#–
B
∂t
et
# –
rot
#–
B = m 0 ·
#–
j + ´ 0 ·
∂
#–
E
∂t
= m 0 ´ 0 ·
∂
#–
E
∂t
Puisque ici
#–
j =
#–
0 (espace vide de courants), on peut écrire :
# –
rot
# –
rot
#–
E
= −
∂
# –
rot
#–
B
∂t
= −m 0 ´ 0 ·
∂
2 E
∂t 2
Or, en utilisant les propriétés des opérateurs vectoriels, on a :
# –
rot
# –
rot
#–
E
=
# –
grad
div
#–
E
− D
#–
E = −D
#–
E
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 373 — #383
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