Chapitre 18 • Électromagnétisme
À partir de ces quatre équations mathématiques reliant le champ électrique
#–
E (M), le
champ magnétique
#–
B (M), la densité volumique de charges m(M) et le vecteur densité
de courant
#–
j (M) ainsi que de l’expression décrivant la force subie par une particule
chargée (de charge q, animée d’une vitesse #– v dans un référentiel galiléen) placée dans
ce champ électromagnétique :
#–
F = q ·
#–
E + #– v ∧
#–
B
, on peut calculer le champ
électromagnétique
#–
E ,
#–
B
à partir de ses sources
m,
#–
j
. Ces équations constituent
donc les postulats fondamentaux de l’électromagnétisme.
L’ensemble de ces équations forme une base à partir de laquelle on peut retrouver
les relations importantes de l’électrostatique et de la magnétostatique que nous avons
étudiées dans les deux chapitres précédents. Nous allons montrer ici rapidement le lien
« dans l’autre sens », à partir des relations vues aux chapitres 16 et 17.
a) Équation de Maxwell-Gauss
L’équation de Maxwell-Gauss est la forme locale du théorème de Gauss :
Équation de Maxwell-Gauss : div
#–
E =
m
´ 0
Théorème de Gauss : F =
S
#–
E ·
# –
dS =
Q int
´ 0
On calcule les charges intérieures à la surface de Gauss par intégration de la densité
volumique de charges :
Q int
´ 0
=
1
´ 0
V
m · dt
En utilisant le théorème d’Ostrogradsky
S
#–
E ·
# –
dS =
V
div
#–
E
· dt
On obtient :
div
#–
E =
m
´ 0
b) Équation de Maxwell-Faraday
Nous avons vu au § 16.4.1 que la circulation du champ électrostatique est conservative,
ce qui peut s’écrire :
#–
E .
#–
dl = 0
D’autre part, la circulation du champ électromoteur (§ 18.1.3) vérifie la relation :
e =
# –
E m ·
#–
dl = −
dw
dt
= −
d
dt
#–
B ·
# –
dS
En utilisant le théorème de Stokes :
C
#–
E ·
#–
dl =
S
# –
rot
#–
E
·
# –
dS
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 372 — #382
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À partir de ces quatre équations mathématiques reliant le champ électrique
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E (M), le
champ magnétique
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B (M), la densité volumique de charges m(M) et le vecteur densité
de courant
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j (M) ainsi que de l’expression décrivant la force subie par une particule
chargée (de charge q, animée d’une vitesse #– v dans un référentiel galiléen) placée dans
ce champ électromagnétique :
#–
F = q ·
#–
E + #– v ∧
#–
B
, on peut calculer le champ
électromagnétique
#–
E ,
#–
B
à partir de ses sources
m,
#–
j
. Ces équations constituent
donc les postulats fondamentaux de l’électromagnétisme.
L’ensemble de ces équations forme une base à partir de laquelle on peut retrouver
les relations importantes de l’électrostatique et de la magnétostatique que nous avons
étudiées dans les deux chapitres précédents. Nous allons montrer ici rapidement le lien
« dans l’autre sens », à partir des relations vues aux chapitres 16 et 17.
a) Équation de Maxwell-Gauss
L’équation de Maxwell-Gauss est la forme locale du théorème de Gauss :
Équation de Maxwell-Gauss : div
#–
E =
m
´ 0
Théorème de Gauss : F =
S
#–
E ·
# –
dS =
Q int
´ 0
On calcule les charges intérieures à la surface de Gauss par intégration de la densité
volumique de charges :
Q int
´ 0
=
1
´ 0
V
m · dt
En utilisant le théorème d’Ostrogradsky
S
#–
E ·
# –
dS =
V
div
#–
E
· dt
On obtient :
div
#–
E =
m
´ 0
b) Équation de Maxwell-Faraday
Nous avons vu au § 16.4.1 que la circulation du champ électrostatique est conservative,
ce qui peut s’écrire :
#–
E .
#–
dl = 0
D’autre part, la circulation du champ électromoteur (§ 18.1.3) vérifie la relation :
e =
# –
E m ·
#–
dl = −
dw
dt
= −
d
dt
#–
B ·
# –
dS
En utilisant le théorème de Stokes :
C
#–
E ·
#–
dl =
S
# –
rot
#–
E
·
# –
dS
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