18.3. Équations de Maxwell et propagation du champ électromagnétique
Inspiré en particulier par les travaux de Michael Faraday, James Clerk Maxwell
entreprit en 1855 l’étude mathématique du champ magnétique créé par des courants ;
rappelons que les phénomènes d’induction électromagnétique sont liés à la variation
du flux magnétique dans un circuit et qu’un champ magnétique variable créé un courant induit dans le circuit, c’est-à-dire également un champ électrique induit (champ
électromoteur, voir le § 18.1.3).
En 1862, il émit l’hypothèse qu’un champ électrique variable induit à son tour un
champ magnétique et introduisit le concept de courant de déplacement dans les milieux
soumis à un champ électrique variable (voir l’équation de Maxwell-Ampère ci-dessous);
en 1864, il énonça une théorie générale du champ électromagnétique. Cette théorie permet la description de tous les phénomènes électriques et magnétiques macroscopiques.
Équations de Maxwell
Les quatre équations de Maxwell vérifiées par le champ électromagnétique
#–
E ,
#–
B
dans le vide, en un point M caractérisé par une densité volumique de charge m (M)
et un vecteur densité de courant
#–
j (M) sont :
Équation du flux magnétique : div
#–
B = 0
Équation de Maxwell-Faraday :
# –
rot
#–
E = −
∂
#–
B
∂t
Équation de Maxwell-Gauss : div
#–
E =
m
´ 0
Équation de Maxwell-Ampère :
# –
rot
#–
B =m 0
#–
j + ´ 0 ·
∂
#–
E
∂t
Remarques
• Ces équations sont des équations dites « locales », c’est-à-dire qu’une équation est
valable en un point M et que les différentes grandeurs qui interviennent dans cette
équation doivent être calculées en ce point M (voir les exercices 18.4 à 18.7).
• Les deux premières de ces équations expriment les propriétés intrinsèques du
champ électromagnétique ; les deux secondes expriment le lien entre le champ
électromagnétique
#–
E ,
#–
B
et les sources
m,
#–
j
responsables de ce champ.
• Dans l’équation de Maxwell-Ampère, le terme
#–
j représente le vecteur densité de
courant, tel qu’il a été défini au § 17.4.1 ; le second terme montre qu’un champ
électrique variable dans le temps est également une source de champ magnétique et
on appelle ce terme « courant de déplacement ».
• Attention à ne pas confondre la densité volumique de particules chargées m(M) et la
perméabilité magnétique du vide m 0 .
Un champ électrique variable dans le temps est une source de champ magnétique.
On appelle « courant de déplacement » le terme
#–
j d = ´ 0 ·
∂
#–
E
∂t
.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
371
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 371 — #381
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Inspiré en particulier par les travaux de Michael Faraday, James Clerk Maxwell
entreprit en 1855 l’étude mathématique du champ magnétique créé par des courants ;
rappelons que les phénomènes d’induction électromagnétique sont liés à la variation
du flux magnétique dans un circuit et qu’un champ magnétique variable créé un courant induit dans le circuit, c’est-à-dire également un champ électrique induit (champ
électromoteur, voir le § 18.1.3).
En 1862, il émit l’hypothèse qu’un champ électrique variable induit à son tour un
champ magnétique et introduisit le concept de courant de déplacement dans les milieux
soumis à un champ électrique variable (voir l’équation de Maxwell-Ampère ci-dessous);
en 1864, il énonça une théorie générale du champ électromagnétique. Cette théorie permet la description de tous les phénomènes électriques et magnétiques macroscopiques.
Équations de Maxwell
Les quatre équations de Maxwell vérifiées par le champ électromagnétique
#–
E ,
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B
dans le vide, en un point M caractérisé par une densité volumique de charge m (M)
et un vecteur densité de courant
#–
j (M) sont :
Équation du flux magnétique : div
#–
B = 0
Équation de Maxwell-Faraday :
# –
rot
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E = −
∂
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B
∂t
Équation de Maxwell-Gauss : div
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E =
m
´ 0
Équation de Maxwell-Ampère :
# –
rot
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B =m 0
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j + ´ 0 ·
∂
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E
∂t
Remarques
• Ces équations sont des équations dites « locales », c’est-à-dire qu’une équation est
valable en un point M et que les différentes grandeurs qui interviennent dans cette
équation doivent être calculées en ce point M (voir les exercices 18.4 à 18.7).
• Les deux premières de ces équations expriment les propriétés intrinsèques du
champ électromagnétique ; les deux secondes expriment le lien entre le champ
électromagnétique
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E ,
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B
et les sources
m,
#–
j
responsables de ce champ.
• Dans l’équation de Maxwell-Ampère, le terme
#–
j représente le vecteur densité de
courant, tel qu’il a été défini au § 17.4.1 ; le second terme montre qu’un champ
électrique variable dans le temps est également une source de champ magnétique et
on appelle ce terme « courant de déplacement ».
• Attention à ne pas confondre la densité volumique de particules chargées m(M) et la
perméabilité magnétique du vide m 0 .
Un champ électrique variable dans le temps est une source de champ magnétique.
On appelle « courant de déplacement » le terme
#–
j d = ´ 0 ·
∂
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E
∂t
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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