Chapitre 17 • Magnétostatique
Remarques
Il est primordial pour la suite du cours de retenir cette formule en sachant précisément
comment est défini chacun de ses termes (en particulier le vecteur unitaire #– u ).
La constante m 0 est la perméabilité magnétique du vide ; c’est une constante physique
qui n’est pas sans dimension ; numériquement, on retiendra que m 0 = 4p 10
–7 en
unités S.I. La formule précédente est donc valable lorsque l’on est dans le vide ou
dans l’air assimilable au vide. Dans un autre milieu, il faut introduire la perméabilité
absolue m du milieu ou la perméabilité relative du milieu par rapport au vide mr : m =
m 0 mr.
Il y a une analogie formelle entre la loi de Coulomb et la loi de Biot et Savart, ainsi
que dans la méthode qui en découle (intégration à partir d’un petit élément de
la distribution de charge ou du circuit) ; il faut tout de même noter qu’ici, isoler
un élément de longueur dl du circuit signifie isoler par la pensée un élément de
longueur dl afin de poser le calcul car en pratique, il n’est pas possible d’avoir un
courant créé à partir de rien et s’annulant un peu plus loin sans faire partie d’un circuit
électrique complet (c’est la circulation du courant dans un circuit fermé qui crée un
champ magnétique).
17.2.2 Application à des calculs de champs magnétiques
On pourra se référer aux exercices 17.3 à 17.6.
Il est souvent très utile de commencer par réaliser un schéma du circuit filiforme
et du point M où l’on cherche
#–
B , afin de bien repérer la géométrie du dispositif. En
utilisant la loi de Biot et Savart, on peut exprimer (et représenter sur le schéma) la
contribution au champ magnétique
# –
dB P (M) d’un élément de longueur dl du circuit situé
autour d’un point P quelconque (attention à bien prendre ce point P quelconque afin de
ne pas introduire sur le schéma des propriétés particulières qui ne seraient pas vraies en
tout point du circuit).
Toutes les considérations de symétries permettant éventuellement de connaître la
direction du champ total
#–
B doivent être étudiées afin, le cas échéant, de simplifier le
calcul. On peut alors faire le choix d’un ou des axes et projeter
# –
dB sur ces axes.
En analysant les différentes considérations géométriques et les grandeurs qui interviennent dans l’expression de
# –
dB, on peut choisir la variable d’intégration et exprimer
les angles de projection, l’élément différentiel dl et la distance PM en fonction de cette
variable, puis faire l’intégration sur chaque axe, en faisant attention au domaine d’intégration. Enfin, on peut vérifier la cohérence du résultat (homogénéité, conformité avec
des résultats connus, respect de la géométrie...).
On peut ainsi déterminer le champ magnétique créé par un fil rectiligne « infini »
parcouru par un courant continu d’intensité I ; en réalité, on calcule le champ magnétique en un point M situé à une distance r du fil, champ créé par une portion de fil
de longueur L telle que r « L : depuis le point M, le fil peut être vu comme étant
de longueur « infinie ». La distribution de courant étant alors invariante par translation le long de l’axe (Oz) du fil et par rotation d’angle w autour de cet axe, le
champ
#–
B (M) est indépendant de z et de w et ne dépend que de r.
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“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 348 — #358
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Remarques
Il est primordial pour la suite du cours de retenir cette formule en sachant précisément
comment est défini chacun de ses termes (en particulier le vecteur unitaire #– u ).
La constante m 0 est la perméabilité magnétique du vide ; c’est une constante physique
qui n’est pas sans dimension ; numériquement, on retiendra que m 0 = 4p 10
–7 en
unités S.I. La formule précédente est donc valable lorsque l’on est dans le vide ou
dans l’air assimilable au vide. Dans un autre milieu, il faut introduire la perméabilité
absolue m du milieu ou la perméabilité relative du milieu par rapport au vide mr : m =
m 0 mr.
Il y a une analogie formelle entre la loi de Coulomb et la loi de Biot et Savart, ainsi
que dans la méthode qui en découle (intégration à partir d’un petit élément de
la distribution de charge ou du circuit) ; il faut tout de même noter qu’ici, isoler
un élément de longueur dl du circuit signifie isoler par la pensée un élément de
longueur dl afin de poser le calcul car en pratique, il n’est pas possible d’avoir un
courant créé à partir de rien et s’annulant un peu plus loin sans faire partie d’un circuit
électrique complet (c’est la circulation du courant dans un circuit fermé qui crée un
champ magnétique).
17.2.2 Application à des calculs de champs magnétiques
On pourra se référer aux exercices 17.3 à 17.6.
Il est souvent très utile de commencer par réaliser un schéma du circuit filiforme
et du point M où l’on cherche
#–
B , afin de bien repérer la géométrie du dispositif. En
utilisant la loi de Biot et Savart, on peut exprimer (et représenter sur le schéma) la
contribution au champ magnétique
# –
dB P (M) d’un élément de longueur dl du circuit situé
autour d’un point P quelconque (attention à bien prendre ce point P quelconque afin de
ne pas introduire sur le schéma des propriétés particulières qui ne seraient pas vraies en
tout point du circuit).
Toutes les considérations de symétries permettant éventuellement de connaître la
direction du champ total
#–
B doivent être étudiées afin, le cas échéant, de simplifier le
calcul. On peut alors faire le choix d’un ou des axes et projeter
# –
dB sur ces axes.
En analysant les différentes considérations géométriques et les grandeurs qui interviennent dans l’expression de
# –
dB, on peut choisir la variable d’intégration et exprimer
les angles de projection, l’élément différentiel dl et la distance PM en fonction de cette
variable, puis faire l’intégration sur chaque axe, en faisant attention au domaine d’intégration. Enfin, on peut vérifier la cohérence du résultat (homogénéité, conformité avec
des résultats connus, respect de la géométrie...).
On peut ainsi déterminer le champ magnétique créé par un fil rectiligne « infini »
parcouru par un courant continu d’intensité I ; en réalité, on calcule le champ magnétique en un point M situé à une distance r du fil, champ créé par une portion de fil
de longueur L telle que r « L : depuis le point M, le fil peut être vu comme étant
de longueur « infinie ». La distribution de courant étant alors invariante par translation le long de l’axe (Oz) du fil et par rotation d’angle w autour de cet axe, le
champ
#–
B (M) est indépendant de z et de w et ne dépend que de r.
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