16.9. Calcul d’un champ électrostatique par application du théorème de Gauss
• lorsque l’on calcule le flux de ce champ électrique à travers une surface fermée
quelconque.
Théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique créé par une distribution de charges à travers une
surface fermée quelconque est proportionnel à la charge totale contenue dans le
volume délimité par cette surface fermée.
F =
S
#–
E .
# –
dS =
Q int
´ 0
Remarques
• Il est remarquable de noter ici qu’il s’agit du champ électrostatique total créé par la
distribution de charge à laquelle on s’intéresse alors même que, le plus souvent, le
calcul du flux s’effectue à travers une surface fermée différente de celle constituée
par la distribution de charges : les charges intérieures qui interviennent donc dans le
membre de droite de l’égalité précédente ne sont donc pas, le plus souvent, l’ensemble
des charges responsables du champ.
• On peut démontrer ce théorème en introduisant la notion d’angle solide dans
l’espace ; à partir du résultat obtenu au § 16.8.2, on peut alors exprimer le flux du
champ créé par une charge ponctuelle à travers une surface fermée quelconque, en
distinguant deux cas, selon que la charge responsable du champ se trouve à l’intérieur
ou non de la surface fermée S à travers laquelle on calcule le flux.
• Même lorsque la distribution de charges est considérée comme infinie (par exemple
un cylindre chargé dont le rayon est négligeable devant sa hauteur), la surface à
travers laquelle on calcule le flux, souvent appelée « surface de Gauss », doit être une
surface fermée (dans cet exemple, on prendra un cylindre de rayon r et de hauteur h
finie : h est arbitraire et n’apparaît pas dans le résultat final ; en effet, elle n’a pas de
signification physique par rapport à la distribution de charges).
16.9 CALCUL D’UN CHAMP ÉLECTROSTATIQUE PAR
APPLICATION DU THÉORÈME DE GAUSS
16.9.1 Méthode
La première chose à faire est sans aucun doute un schéma de la distribution de charges et
du point M où l’on cherche
#–
E . Il faut ensuite, par des considérations géométriques sur
la distribution de charges (voir le paragraphe suivant), déterminer les lignes de champ
(pour connaître la direction du champ) et les coordonnées du point M qui interviendront
ou non dans la norme du champ
#–
E .
Une fois les lignes de champ connues, on peut en déduire les surfaces équipotentielles
(qui sont normales aux lignes de champ) et ainsi choisir la « surface de Gauss » : surface
fermée S comportant l’équipotentielle passant par le point M. On peut alors calculer le
flux de
#–
E à travers S, en fonction de E et de données géométriques.
©
Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
339
“Gautron_9782100543007” (Col. : ScienceSup3-193x250) — 2010/6/15 — 17:13 — page 339 — #349
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• lorsque l’on calcule le flux de ce champ électrique à travers une surface fermée
quelconque.
Théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique créé par une distribution de charges à travers une
surface fermée quelconque est proportionnel à la charge totale contenue dans le
volume délimité par cette surface fermée.
F =
S
#–
E .
# –
dS =
Q int
´ 0
Remarques
• Il est remarquable de noter ici qu’il s’agit du champ électrostatique total créé par la
distribution de charge à laquelle on s’intéresse alors même que, le plus souvent, le
calcul du flux s’effectue à travers une surface fermée différente de celle constituée
par la distribution de charges : les charges intérieures qui interviennent donc dans le
membre de droite de l’égalité précédente ne sont donc pas, le plus souvent, l’ensemble
des charges responsables du champ.
• On peut démontrer ce théorème en introduisant la notion d’angle solide dans
l’espace ; à partir du résultat obtenu au § 16.8.2, on peut alors exprimer le flux du
champ créé par une charge ponctuelle à travers une surface fermée quelconque, en
distinguant deux cas, selon que la charge responsable du champ se trouve à l’intérieur
ou non de la surface fermée S à travers laquelle on calcule le flux.
• Même lorsque la distribution de charges est considérée comme infinie (par exemple
un cylindre chargé dont le rayon est négligeable devant sa hauteur), la surface à
travers laquelle on calcule le flux, souvent appelée « surface de Gauss », doit être une
surface fermée (dans cet exemple, on prendra un cylindre de rayon r et de hauteur h
finie : h est arbitraire et n’apparaît pas dans le résultat final ; en effet, elle n’a pas de
signification physique par rapport à la distribution de charges).
16.9 CALCUL D’UN CHAMP ÉLECTROSTATIQUE PAR
APPLICATION DU THÉORÈME DE GAUSS
16.9.1 Méthode
La première chose à faire est sans aucun doute un schéma de la distribution de charges et
du point M où l’on cherche
#–
E . Il faut ensuite, par des considérations géométriques sur
la distribution de charges (voir le paragraphe suivant), déterminer les lignes de champ
(pour connaître la direction du champ) et les coordonnées du point M qui interviendront
ou non dans la norme du champ
#–
E .
Une fois les lignes de champ connues, on peut en déduire les surfaces équipotentielles
(qui sont normales aux lignes de champ) et ainsi choisir la « surface de Gauss » : surface
fermée S comportant l’équipotentielle passant par le point M. On peut alors calculer le
flux de
#–
E à travers S, en fonction de E et de données géométriques.
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Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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